Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsw0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsw0g 31883
 Description: The neutral element of 𝑊. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsw.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
Assertion
Ref Expression
signsw0g 0 = (0g𝑊)
Distinct variable group:   𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsw0g
Dummy variables 𝑢 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 10633 . . . . 5 0 ∈ V
21tpid2 4691 . . . 4 0 ∈ {-1, 0, 1}
3 signsw.p . . . . 5 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
43signsw0glem 31880 . . . 4 𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢)
52, 4pm3.2i 474 . . 3 (0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢))
6 signsw.w . . . . . 6 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
73, 6signswbase 31881 . . . . 5 {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
8 eqid 2824 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
93, 6signswplusg 31882 . . . . 5 = (+g𝑊)
10 oveq1 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 0 → (𝑒 𝑢) = (0 𝑢))
1110eqeq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 0 → ((𝑒 𝑢) = 𝑢 ↔ (0 𝑢) = 𝑢))
1211ovanraleqv 7173 . . . . . . . 8 (𝑒 = 0 → (∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 𝑒) = 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢)))
1312rspcev 3609 . . . . . . 7 ((0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢)) → ∃𝑒 ∈ {-1, 0, 1}∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 𝑒) = 𝑢))
142, 4, 13mp2an 691 . . . . . 6 𝑒 ∈ {-1, 0, 1}∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 𝑒) = 𝑢)
1514a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∃𝑒 ∈ {-1, 0, 1}∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 𝑒) = 𝑢))
167, 8, 9, 15ismgmid 17875 . . . 4 (⊤ → ((0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢)) ↔ (0g𝑊) = 0))
1716mptru 1545 . . 3 ((0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢)) ↔ (0g𝑊) = 0)
185, 17mpbi 233 . 2 (0g𝑊) = 0
1918eqcomi 2833 1 0 = (0g𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  ifcif 4450  {cpr 4552  {ctp 4554  ⟨cop 4556  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151  0cc0 10535  1c1 10536  -cneg 10869  ndxcnx 16480  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  0gc0g 16713 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-0g 16715 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator