Theorem signsw0g 35178

Description: The neutral element of 𝑊. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signsw0g	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Distinct variable group:   𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signsw0g

Dummy variables 𝑢 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11293	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid2 4731	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
3		signsw.p	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
4	3	signsw0glem 35175	. . . 4 ⊢ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 0) = 𝑢)
5	2, 4	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 0) = 𝑢))
6		signsw.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
7	3, 6	signswbase 35176	. . . . 5 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
9	3, 6	signswplusg 35177	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
10		oveq1 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑒 ⨣ 𝑢) = (0 ⨣ 𝑢))
11	10	eqeq1d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ↔ (0 ⨣ 𝑢) = 𝑢))
12	11	ovanraleqv 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 0 → (∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 𝑒) = 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 0) = 𝑢)))
13	12	rspcev 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 0) = 𝑢)) → ∃𝑒 ∈ {-1, 0, 1}∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 𝑒) = 𝑢))
14	2, 4, 13	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑒 ∈ {-1, 0, 1}∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 𝑒) = 𝑢)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∃𝑒 ∈ {-1, 0, 1}∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 𝑒) = 𝑢))
16	7, 8, 9, 15	ismgmid 18838	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 0) = 𝑢)) ↔ (0g‘𝑊) = 0))
17	16	mptru 1577	. . 3 ⊢ ((0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 0) = 𝑢)) ↔ (0g‘𝑊) = 0)
18	5, 17	mpbi 233	. 2 ⊢ (0g‘𝑊) = 0
19	18	eqcomi 2770	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ifcif 4482  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4590  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420  0cc0 11193  1c1 11194  -cneg 11535  ndxcnx 17364  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  0_gc0g 17603

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-0g 17605

This theorem is used by: (None)