Theorem sizusglecusglem1 28117

Description: Lemma 1 for sizusglecusg 28119. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f	⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
sizusglecusglem1	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐹)

Proof of Theorem sizusglecusglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6810	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1-onto→𝐸
2		f1of1 6771	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1-onto→𝐸 → ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐸)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐸
4		fusgrmaxsize.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		fusgrmaxsize.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6		usgrsscusgra.h	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
7		usgrsscusgra.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)
8	4, 5, 6, 7	usgredgsscusgredg 28115	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸 ⊆ 𝐹)
9		f1ss 6732	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐸 ∧ 𝐸 ⊆ 𝐹) → ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐹)
10	3, 8, 9	sylancr 588	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3902   I cid 5522   ↾ cres 5627  –1-1→wf1 6481  –1-1-onto→wf1o 6483  ‘cfv 6484  Vtxcvtx 27655  Edgcedg 27706  USGraphcusgr 27808  ComplUSGraphccusgr 28066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-oadd 8376  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-dju 9763  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-n0 12340  df-xnn0 12412  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-hash 14151  df-edg 27707  df-upgr 27741  df-umgr 27742  df-usgr 27810  df-nbgr 27989  df-uvtx 28042  df-cplgr 28067  df-cusgr 28068

This theorem is referenced by:  sizusglecusg  28119