Theorem usgredgsscusgredg 29260

Description: A simple graph is a subgraph of a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f	⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
usgredgsscusgredg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸 ⊆ 𝐹)

Proof of Theorem usgredgsscusgredg

Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fusgrmaxsize.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	usgredg 28999	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}))
4		usgrsscusgra.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
5		usgrsscusgra.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)
6	4, 5	iscusgredg 29223	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹))
7		sneq 4634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {𝑘} = {𝑎})
8	7	difeq2d 4118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑉 ∖ {𝑘}) = (𝑉 ∖ {𝑎}))
9		preq2 4734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {𝑛, 𝑘} = {𝑛, 𝑎})
10	9	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ({𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ {𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
11	8, 10	raleqbidv 3337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
12	11	rspcv 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
13		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
14	13	necomd 2991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑏 ≠ 𝑎)
15	14	anim2i 616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))
16		eldifsn 4786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))
17	15, 16	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))
18		preq1 4733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → {𝑛, 𝑎} = {𝑏, 𝑎})
19	18	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → ({𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 ↔ {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
20	19	rspcv 3603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
22		prcom 4732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}
23	22	eqeq2i 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑒 = {𝑏, 𝑎})
24		eqcom 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = {𝑏, 𝑎} ↔ {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
25	23, 24	sylbb 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
26	25	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹 ↔ 𝑒 ∈ 𝐹))
27	26	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
28	27	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
29	21, 28	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
30	12, 29	syl9 77	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹)))
31	30	impl 455	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
32	31	adantld 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹) → 𝑒 ∈ 𝐹))
33	6, 32	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹))
34	33	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹)))
35	34	rexlimivv 3194	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹))
36	3, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹))
37	36	impancom 451	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝑒 ∈ 𝐸 → 𝑒 ∈ 𝐹))
38	37	ssrdv 3984	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸 ⊆ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∀wral 3056  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  {csn 4624  {cpr 4626  ‘cfv 6542  Vtxcvtx 28796  Edgcedg 28847  USGraphcusgr 28949  ComplUSGraphccusgr 29210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-hash 14314  df-edg 28848  df-upgr 28882  df-umgr 28883  df-usgr 28951  df-nbgr 29133  df-uvtx 29186  df-cplgr 29211  df-cusgr 29212

This theorem is referenced by:  usgrsscusgr  29261  sizusglecusglem1  29262