MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredgsscusgredg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredgsscusgredg 28449
Description: A simple graph is a subgraph of a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fusgrmaxsize.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f 𝐹 = (Edg‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
usgredgsscusgredg ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸𝐹)

Proof of Theorem usgredgsscusgredg
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fusgrmaxsize.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 fusgrmaxsize.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2usgredg 28189 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}))
4 usgrsscusgra.h . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
5 usgrsscusgra.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Edg‘𝐻)
64, 5iscusgredg 28413 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹))
7 sneq 4601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑎 → {𝑘} = {𝑎})
87difeq2d 4087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑎 → (𝑉 ∖ {𝑘}) = (𝑉 ∖ {𝑎}))
9 preq2 4700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑎 → {𝑛, 𝑘} = {𝑛, 𝑎})
109eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑎 → ({𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ {𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
118, 10raleqbidv 3322 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
1211rspcv 3580 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑉 → (∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
13 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏)
1413necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑏𝑎)
1514anim2i 618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝑏𝑉𝑏𝑎))
16 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏𝑉𝑏𝑎))
1715, 16sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))
18 preq1 4699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑏 → {𝑛, 𝑎} = {𝑏, 𝑎})
1918eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑏 → ({𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 ↔ {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
2019rspcv 3580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
22 prcom 4698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}
2322eqeq2i 2750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑒 = {𝑏, 𝑎})
24 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = {𝑏, 𝑎} ↔ {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
2523, 24sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
2625eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
2726biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
2827ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
2921, 28syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
3012, 29syl9 77 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑉 → ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹𝑒𝐹)))
3130impl 457 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
3231adantld 492 . . . . . . 7 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹) → 𝑒𝐹))
336, 32biimtrid 241 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹))
3433ex 414 . . . . 5 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹)))
3534rexlimivv 3197 . . . 4 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹))
363, 35syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒𝐸) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹))
3736impancom 453 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝑒𝐸𝑒𝐹))
3837ssrdv 3955 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wrex 3074  cdif 3912  wss 3915  {csn 4591  {cpr 4593  cfv 6501  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  USGraphcusgr 28142  ComplUSGraphccusgr 28400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-edg 28041  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-usgr 28144  df-nbgr 28323  df-uvtx 28376  df-cplgr 28401  df-cusgr 28402
This theorem is referenced by:  usgrsscusgr  28450  sizusglecusglem1  28451
  Copyright terms: Public domain W3C validator