MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredgsscusgredg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredgsscusgredg 28407
Description: A simple graph is a subgraph of a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fusgrmaxsize.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f 𝐹 = (Edg‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
usgredgsscusgredg ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸𝐹)

Proof of Theorem usgredgsscusgredg
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fusgrmaxsize.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 fusgrmaxsize.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2usgredg 28147 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}))
4 usgrsscusgra.h . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
5 usgrsscusgra.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Edg‘𝐻)
64, 5iscusgredg 28371 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹))
7 sneq 4596 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑎 → {𝑘} = {𝑎})
87difeq2d 4082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑎 → (𝑉 ∖ {𝑘}) = (𝑉 ∖ {𝑎}))
9 preq2 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑎 → {𝑛, 𝑘} = {𝑛, 𝑎})
109eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑎 → ({𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ {𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
118, 10raleqbidv 3319 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
1211rspcv 3577 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑉 → (∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
13 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏)
1413necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑏𝑎)
1514anim2i 617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝑏𝑉𝑏𝑎))
16 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏𝑉𝑏𝑎))
1715, 16sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))
18 preq1 4694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑏 → {𝑛, 𝑎} = {𝑏, 𝑎})
1918eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑏 → ({𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 ↔ {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
2019rspcv 3577 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
22 prcom 4693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}
2322eqeq2i 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑒 = {𝑏, 𝑎})
24 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = {𝑏, 𝑎} ↔ {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
2523, 24sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
2625eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
2726biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
2827ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
2921, 28syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
3012, 29syl9 77 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑉 → ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹𝑒𝐹)))
3130impl 456 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
3231adantld 491 . . . . . . 7 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹) → 𝑒𝐹))
336, 32biimtrid 241 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹))
3433ex 413 . . . . 5 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹)))
3534rexlimivv 3196 . . . 4 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹))
363, 35syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒𝐸) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹))
3736impancom 452 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝑒𝐸𝑒𝐹))
3837ssrdv 3950 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588  cfv 6496  Vtxcvtx 27947  Edgcedg 27998  USGraphcusgr 28100  ComplUSGraphccusgr 28358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231  df-edg 27999  df-upgr 28033  df-umgr 28034  df-usgr 28102  df-nbgr 28281  df-uvtx 28334  df-cplgr 28359  df-cusgr 28360
This theorem is referenced by:  usgrsscusgr  28408  sizusglecusglem1  28409
  Copyright terms: Public domain W3C validator