Theorem usgredgsscusgredg 29838

Description: A simple graph is a subgraph of a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f	⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
usgredgsscusgredg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸 ⊆ 𝐹)

Proof of Theorem usgredgsscusgredg

Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fusgrmaxsize.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	usgredg 29578	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}))
4		usgrsscusgra.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
5		usgrsscusgra.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)
6	4, 5	iscusgredg 29802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹))
7		sneq 4601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {𝑘} = {𝑎})
8	7	difeq2d 4081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑉 ∖ {𝑘}) = (𝑉 ∖ {𝑎}))
9		preq2 4702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {𝑛, 𝑘} = {𝑛, 𝑎})
10	9	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ({𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ {𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
11	8, 10	raleqbidv 3340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
12	11	rspcv 3579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
13		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
14	13	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑏 ≠ 𝑎)
15	14	anim2i 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))
16		eldifsn 4755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))
17	15, 16	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))
18		preq1 4701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → {𝑛, 𝑎} = {𝑏, 𝑎})
19	18	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → ({𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 ↔ {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
20	19	rspcv 3579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
22		prcom 4700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}
23	22	eqeq2i 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑒 = {𝑏, 𝑎})
24		eqcom 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = {𝑏, 𝑎} ↔ {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
25	23, 24	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
26	25	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹 ↔ 𝑒 ∈ 𝐹))
27	26	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
28	27	ad2antll 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
29	21, 28	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
30	12, 29	syl9 78	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹)))
31	30	impl 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
32	31	adantld 496	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹) → 𝑒 ∈ 𝐹))
33	6, 32	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹))
34	33	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹)))
35	34	rexlimivv 3209	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹))
36	3, 35	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹))
37	36	impancom 457	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝑒 ∈ 𝐸 → 𝑒 ∈ 𝐹))
38	37	ssrdv 3944	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸 ⊆ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6540  Vtxcvtx 29375  Edgcedg 29426  USGraphcusgr 29528  ComplUSGraphccusgr 29789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-hash 14380  df-edg 29427  df-upgr 29461  df-umgr 29462  df-usgr 29530  df-nbgr 29712  df-uvtx 29765  df-cplgr 29790  df-cusgr 29791

This theorem is used by:  usgrsscusgr  29839  sizusglecusglem1  29840