Theorem usgredgsscusgredg 29746

Description: A simple graph is a subgraph of a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f	⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
usgredgsscusgredg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸 ⊆ 𝐹)

Proof of Theorem usgredgsscusgredg

Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fusgrmaxsize.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	usgredg 29486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}))
4		usgrsscusgra.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
5		usgrsscusgra.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)
6	4, 5	iscusgredg 29710	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹))
7		sneq 4601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {𝑘} = {𝑎})
8	7	difeq2d 4089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑉 ∖ {𝑘}) = (𝑉 ∖ {𝑎}))
9		preq2 4702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {𝑛, 𝑘} = {𝑛, 𝑎})
10	9	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ({𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ {𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
11	8, 10	raleqbidv 3345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
12	11	rspcv 3586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
13		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
14	13	necomd 3019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑏 ≠ 𝑎)
15	14	anim2i 628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))
16		eldifsn 4755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))
17	15, 16	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))
18		preq1 4701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → {𝑛, 𝑎} = {𝑏, 𝑎})
19	18	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → ({𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 ↔ {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
20	19	rspcv 3586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
22		prcom 4700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}
23	22	eqeq2i 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑒 = {𝑏, 𝑎})
24		eqcom 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = {𝑏, 𝑎} ↔ {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
25	23, 24	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
26	25	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹 ↔ 𝑒 ∈ 𝐹))
27	26	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
28	27	ad2antll 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
29	21, 28	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
30	12, 29	syl9 78	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹)))
31	30	impl 460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
32	31	adantld 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹) → 𝑒 ∈ 𝐹))
33	6, 32	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹))
34	33	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹)))
35	34	rexlimivv 3213	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹))
36	3, 35	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹))
37	36	impancom 456	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝑒 ∈ 𝐸 → 𝑒 ∈ 𝐹))
38	37	ssrdv 3951	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸 ⊆ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6533  Vtxcvtx 29283  Edgcedg 29334  USGraphcusgr 29436  ComplUSGraphccusgr 29697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-hash 14363  df-edg 29335  df-upgr 29369  df-umgr 29370  df-usgr 29438  df-nbgr 29620  df-uvtx 29673  df-cplgr 29698  df-cusgr 29699

This theorem is referenced by:  usgrsscusgr  29747  sizusglecusglem1  29748