Theorem usgredgsscusgredg 29790

Description: A simple graph is a subgraph of a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f	⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
usgredgsscusgredg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸 ⊆ 𝐹)

Proof of Theorem usgredgsscusgredg

Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fusgrmaxsize.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	usgredg 29530	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}))
4		usgrsscusgra.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
5		usgrsscusgra.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)
6	4, 5	iscusgredg 29754	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹))
7		sneq 4600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {𝑘} = {𝑎})
8	7	difeq2d 4082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑉 ∖ {𝑘}) = (𝑉 ∖ {𝑎}))
9		preq2 4701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {𝑛, 𝑘} = {𝑛, 𝑎})
10	9	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ({𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ {𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
11	8, 10	raleqbidv 3338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
12	11	rspcv 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
13		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
14	13	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑏 ≠ 𝑎)
15	14	anim2i 628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))
16		eldifsn 4754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))
17	15, 16	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))
18		preq1 4700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → {𝑛, 𝑎} = {𝑏, 𝑎})
19	18	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → ({𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 ↔ {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
20	19	rspcv 3578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
22		prcom 4699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}
23	22	eqeq2i 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑒 = {𝑏, 𝑎})
24		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = {𝑏, 𝑎} ↔ {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
25	23, 24	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
26	25	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹 ↔ 𝑒 ∈ 𝐹))
27	26	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
28	27	ad2antll 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
29	21, 28	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
30	12, 29	syl9 78	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹)))
31	30	impl 460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → 𝑒 ∈ 𝐹))
32	31	adantld 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹) → 𝑒 ∈ 𝐹))
33	6, 32	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹))
34	33	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹)))
35	34	rexlimivv 3207	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹))
36	3, 35	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒 ∈ 𝐹))
37	36	impancom 456	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝑒 ∈ 𝐸 → 𝑒 ∈ 𝐹))
38	37	ssrdv 3944	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸 ⊆ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4590  {cpr 4592  ‘cfv 6538  Vtxcvtx 29327  Edgcedg 29378  USGraphcusgr 29480  ComplUSGraphccusgr 29741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-hash 14369  df-edg 29379  df-upgr 29413  df-umgr 29414  df-usgr 29482  df-nbgr 29664  df-uvtx 29717  df-cplgr 29742  df-cusgr 29743

This theorem is referenced by:  usgrsscusgr  29791  sizusglecusglem1  29792