Theorem submodneaddmod 47912

Description: An integer minus 𝐵 is not itself plus 𝐶 modulo an integer greater than the sum of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
submodneaddmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))

Proof of Theorem submodneaddmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1148	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zaddcl 12605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
3	2	3adant3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4		zsubcl 12607	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
5	4	3adant2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 519	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ))
7	6	3ad2ant2 1146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ))
8		zcn 12567	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant1 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	3ad2ant2 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		zcn 12567	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant2 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant2 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		zcn 12567	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant3 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant2 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	10, 13, 16	pnncand 11575	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶))
18		simpl3l 1241	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → 1 ≤ (𝐵 + 𝐶))
19		breq2 5101	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ↔ 1 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
20	19	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ↔ 1 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
21	18, 20	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → 1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)))
22		simpl3r 1242	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)
23		breq1 5100	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁 ↔ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁))
24	23	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁 ↔ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁))
25	22, 24	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁)
26	21, 25	jca 519	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁))
27	17, 26	mpdan 697	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁))
28		difltmodne 47903	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))
29	1, 7, 27, 28	syl3anc 1389	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  1c1 11068   + caddc 11070   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408  ℕcn 12204  ℤcz 12562   mod cmo 13873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-dvds 16278

This theorem is referenced by:  m1modnep2mod  47913  modmknepk  47923