Theorem submodneaddmod 48700

Description: An integer minus 𝐵 is not itself plus 𝐶 modulo an integer greater than the sum of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
submodneaddmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))

Proof of Theorem submodneaddmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zaddcl 12776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
3	2	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4		zsubcl 12778	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
5	4	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ))
7	6	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ))
8		zcn 12738	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		zcn 12738	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		zcn 12738	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	10, 13, 16	pnncand 11747	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶))
18		simpl3l 1247	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → 1 ≤ (𝐵 + 𝐶))
19		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ↔ 1 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
20	19	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ↔ 1 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
21	18, 20	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → 1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)))
22		simpl3r 1248	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)
23		breq1 5111	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁 ↔ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁))
24	23	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁 ↔ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁))
25	22, 24	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁)
26	21, 25	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁))
27	17, 26	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁))
28		difltmodne 48691	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))
29	1, 7, 27, 28	syl3anc 1399	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℤcz 12733   mod cmo 14049

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-dvds 16467

This theorem is used by:  m1modnep2mod  48701  modmknepk  48711