Theorem submodneaddmod 47326

Description: An integer minus 𝐵 is not itself plus 𝐶 modulo an integer greater than the sum of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
submodneaddmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))

Proof of Theorem submodneaddmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zaddcl 12653	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
3	2	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4		zsubcl 12655	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
5	4	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ))
7	6	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ))
8		zcn 12614	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		zcn 12614	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		zcn 12614	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	10, 13, 16	pnncand 11655	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶))
18		simpl3l 1229	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → 1 ≤ (𝐵 + 𝐶))
19		breq2 5145	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ↔ 1 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ↔ 1 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
21	18, 20	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → 1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)))
22		simpl3r 1230	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)
23		breq1 5144	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁 ↔ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁))
24	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁 ↔ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁))
25	22, 24	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁)
26	21, 25	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁))
27	17, 26	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁))
28		difltmodne 47317	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))
29	1, 7, 27, 28	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939   class class class wbr 5141  (class class class)co 7429  ℂcc 11149  1c1 11152   + caddc 11154   < clt 11291   ≤ cle 11292   − cmin 11488  ℕcn 12262  ℤcz 12609   mod cmo 13905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-rp 13031  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-dvds 16287

This theorem is referenced by:  m1modnep2mod  47327  gpg3nbgrvtxlem  47996