Theorem submodneaddmod 47382

Description: An integer minus 𝐵 is not itself plus 𝐶 modulo an integer greater than the sum of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
submodneaddmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))

Proof of Theorem submodneaddmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zaddcl 12507	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
3	2	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4		zsubcl 12509	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
5	4	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ))
7	6	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ))
8		zcn 12468	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		zcn 12468	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		zcn 12468	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	10, 13, 16	pnncand 11506	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶))
18		simpl3l 1229	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → 1 ≤ (𝐵 + 𝐶))
19		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ↔ 1 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ↔ 1 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
21	18, 20	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → 1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)))
22		simpl3r 1230	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)
23		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁 ↔ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁))
24	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁 ↔ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁))
25	22, 24	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁)
26	21, 25	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁))
27	17, 26	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁))
28		difltmodne 47373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))
29	1, 7, 27, 28	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  1c1 11002   + caddc 11004   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339  ℕcn 12120  ℤcz 12463   mod cmo 13768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-dvds 16159

This theorem is referenced by:  m1modnep2mod  47383  modmknepk  47393