Theorem submodneaddmod 47274

Description: An integer minus 𝐵 is not itself plus 𝐶 modulo an integer greater than the sum of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
submodneaddmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))

Proof of Theorem submodneaddmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zaddcl 12689	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
3	2	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4		zsubcl 12691	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
5	4	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ))
7	6	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ))
8		zcn 12650	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		zcn 12650	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		zcn 12650	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	10, 13, 16	pnncand 11691	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶))
18		simpl3l 1228	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → 1 ≤ (𝐵 + 𝐶))
19		breq2 5171	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ↔ 1 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ↔ 1 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
21	18, 20	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → 1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)))
22		simpl3r 1229	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)
23		breq1 5170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁 ↔ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁))
24	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁 ↔ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁))
25	22, 24	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁)
26	21, 25	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) = (𝐵 + 𝐶)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁))
27	17, 26	mpdan 686	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁))
28		difltmodne 47265	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐶)) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))
29	1, 7, 27, 28	syl3anc 1371	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐵 + 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐶) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐶) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5167  (class class class)co 7451  ℂcc 11185  1c1 11188   + caddc 11190   < clt 11327   ≤ cle 11328   − cmin 11524  ℕcn 12298  ℤcz 12645   mod cmo 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-cnex 11243  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263  ax-pre-mulgt0 11264  ax-pre-sup 11265

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4933  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7907  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-er 8766  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-sup 9514  df-inf 9515  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-div 11953  df-nn 12299  df-n0 12559  df-z 12646  df-uz 12911  df-rp 13067  df-fz 13579  df-fzo 13723  df-fl 13859  df-mod 13937  df-dvds 16320

This theorem is referenced by:  m1modnep2mod  47275  gpg3nbgrvtxlem  47910