Theorem submodlt 47325

Description: The difference of an element of a half-open range of nonnegative integers and the upper bound of this range modulo an integer greater than the upper bound. (Contributed by AV, 1-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
submodlt	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))

Proof of Theorem submodlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 13680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		elfzoelz 13681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
6	5	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7		negsubdi2 11550	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
9	8	eqcomd 2740	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐴 − 𝐵) = -(𝐵 − 𝐴))
10	9	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (-(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁))
11	1, 3	zsubcld 12710	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
12	11	zred 12705	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
14		nnrp 13028	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
16		negmod 13939	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
17	13, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (-(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
18	10, 17	eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
19		nnz 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	11	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
22	20, 21	zsubcld 12710	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
23	22	zred 12705	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
24	1	zred 12705	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
25	24	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		nnre 12255	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		elfzo0suble 13728	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵)
29	28	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵)
30		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 < 𝑁)
31		leltletr 11334	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁))
32	31	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁)
33	13, 25, 27, 29, 30, 32	syl32anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁)
34	27, 13	subge0d 11835	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁))
35	33, 34	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
36		elfzo0 13722	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
37		nn0re 12518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
38		nnre 12255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
39		posdif 11738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
40	37, 38, 39	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
41	40	biimp3a 1470	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
42	36, 41	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
43	42	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
44	13, 27	ltsubposd 11831	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁))
45	43, 44	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁)
46		modid 13918	. . 3 ⊢ ((((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁)) → ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁) = (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
47	23, 15, 35, 45, 46	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁) = (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
48		nncn 12256	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49	48	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
50	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℂ)
51	4	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	subsub3d 11632	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))
53	18, 47, 52	3eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  ℝcr 11136  0cc0 11137   + caddc 11140   < clt 11277   ≤ cle 11278   − cmin 11474  -cneg 11475  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12509  ℤcz 12596  ℝ⁺crp 13016  ..^cfzo 13676   mod cmo 13891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892

This theorem is referenced by:  gpgedgvtx1  47993