Theorem submodlt 48093

Description: The difference of an element of a half-open range of nonnegative integers and the upper bound of this range modulo an integer greater than the upper bound. (Contributed by AV, 1-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
submodlt	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))

Proof of Theorem submodlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 13682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		elfzoelz 13683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
6	5	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7		negsubdi2 11512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
9	8	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐴 − 𝐵) = -(𝐵 − 𝐴))
10	9	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (-(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁))
11	1, 3	zsubcld 12700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
12	11	zred 12695	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
14		nnrp 13023	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
15	14	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
16		negmod 13948	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
17	13, 15, 16	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (-(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
18	10, 17	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
19		nnz 12607	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	11	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
22	20, 21	zsubcld 12700	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
23	22	zred 12695	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
24	1	zred 12695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
25	24	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		nnre 12235	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		elfzo0suble 13731	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵)
29	28	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵)
30		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 < 𝑁)
31		leltletr 11296	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁))
32	31	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁)
33	13, 25, 27, 29, 30, 32	syl32anc 1405	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁)
34	27, 13	subge0d 11799	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁))
35	33, 34	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
36		elfzo0 13725	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
37		nn0re 12508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
38		nnre 12235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
39		posdif 11702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
40	37, 38, 39	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
41	40	biimp3a 1498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
42	36, 41	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
43	42	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
44	13, 27	ltsubposd 11795	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁))
45	43, 44	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁)
46		modid 13925	. . 3 ⊢ ((((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁)) → ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁) = (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
47	23, 15, 35, 45, 46	syl22anc 851	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁) = (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
48		nncn 12236	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49	48	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
50	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℂ)
51	4	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	subsub3d 11594	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))
53	18, 47, 52	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095   + caddc 11098   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  -cneg 11437  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℝ⁺crp 13011  ..^cfzo 13678   mod cmo 13898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899

This theorem is referenced by:  gpgedgvtx1  48827