Theorem submodlt 47341

Description: The difference of an element of a half-open range of nonnegative integers and the upper bound of this range modulo an integer greater than the upper bound. (Contributed by AV, 1-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
submodlt	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))

Proof of Theorem submodlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 13625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		elfzoelz 13626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
6	5	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7		negsubdi2 11487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
9	8	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐴 − 𝐵) = -(𝐵 − 𝐴))
10	9	oveq1d 7404	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (-(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁))
11	1, 3	zsubcld 12649	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
12	11	zred 12644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
14		nnrp 12969	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
16		negmod 13887	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
17	13, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (-(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
18	10, 17	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
19		nnz 12556	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	11	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
22	20, 21	zsubcld 12649	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
23	22	zred 12644	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
24	1	zred 12644	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
25	24	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		nnre 12194	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		elfzo0suble 13673	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵)
29	28	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵)
30		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 < 𝑁)
31		leltletr 11271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁))
32	31	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁)
33	13, 25, 27, 29, 30, 32	syl32anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁)
34	27, 13	subge0d 11774	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁))
35	33, 34	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
36		elfzo0 13667	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
37		nn0re 12457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
38		nnre 12194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
39		posdif 11677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
40	37, 38, 39	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
41	40	biimp3a 1471	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
42	36, 41	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
43	42	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
44	13, 27	ltsubposd 11770	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁))
45	43, 44	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁)
46		modid 13864	. . 3 ⊢ ((((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁)) → ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁) = (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
47	23, 15, 35, 45, 46	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁) = (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
48		nncn 12195	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49	48	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
50	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℂ)
51	4	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	subsub3d 11569	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))
53	18, 47, 52	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074   + caddc 11077   < clt 11214   ≤ cle 11215   − cmin 11411  -cneg 11412  ℕcn 12187  ℕ₀cn0 12448  ℤcz 12535  ℝ⁺crp 12957  ..^cfzo 13621   mod cmo 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838

This theorem is referenced by:  gpgedgvtx1  48043