Theorem submodlt 47816

Description: The difference of an element of a half-open range of nonnegative integers and the upper bound of this range modulo an integer greater than the upper bound. (Contributed by AV, 1-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
submodlt	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))

Proof of Theorem submodlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 13603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		elfzoelz 13604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
6	5	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7		negsubdi2 11444	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
9	8	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐴 − 𝐵) = -(𝐵 − 𝐴))
10	9	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (-(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁))
11	1, 3	zsubcld 12629	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
12	11	zred 12624	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
14		nnrp 12945	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
15	14	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
16		negmod 13869	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
17	13, 15, 16	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (-(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
18	10, 17	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
19		nnz 12536	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	11	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
22	20, 21	zsubcld 12629	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
23	22	zred 12624	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
24	1	zred 12624	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
25	24	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		nnre 12172	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		elfzo0suble 13652	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵)
29	28	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵)
30		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 < 𝑁)
31		leltletr 11228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁))
32	31	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁)
33	13, 25, 27, 29, 30, 32	syl32anc 1381	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁)
34	27, 13	subge0d 11731	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁))
35	33, 34	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
36		elfzo0 13646	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
37		nn0re 12437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
38		nnre 12172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
39		posdif 11634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
40	37, 38, 39	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
41	40	biimp3a 1472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
42	36, 41	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
43	42	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
44	13, 27	ltsubposd 11727	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁))
45	43, 44	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁)
46		modid 13846	. . 3 ⊢ ((((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁)) → ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁) = (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
47	23, 15, 35, 45, 46	syl22anc 839	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁) = (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
48		nncn 12173	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49	48	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
50	2	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℂ)
51	4	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	subsub3d 11526	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))
53	18, 47, 52	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820

This theorem is referenced by:  gpgedgvtx1  48550