Theorem submodlt 48533

Description: The difference of an element of a half-open range of nonnegative integers and the upper bound of this range modulo an integer greater than the upper bound. (Contributed by AV, 1-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
submodlt	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))

Proof of Theorem submodlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 13797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		elfzoelz 13798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
6	5	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7		negsubdi2 11622	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
9	8	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐴 − 𝐵) = -(𝐵 − 𝐴))
10	9	oveq1d 7437	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ( -(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁))
11	1, 3	zsubcld 12813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
12	11	zred 12808	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
14		nnrp 13137	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
15	14	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
16		negmod 14064	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ( -(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
17	13, 15, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ( -(𝐵 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
18	10, 17	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁))
19		nnz 12719	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	11	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
22	20, 21	zsubcld 12813	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
23	22	zred 12808	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
24	1	zred 12808	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
25	24	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		nnre 12347	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		elfzo0suble 13846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵)
29	28	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵)
30		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 < 𝑁)
31		leltletr 11406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁))
32	31	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁)
33	13, 25, 27, 29, 30, 32	syl32anc 1405	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁)
34	27, 13	subge0d 11911	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝑁))
35	33, 34	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
36		elfzo0 13840	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
37		nn0re 12620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
38		nnre 12347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
39		posdif 11814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
40	37, 38, 39	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
41	40	biimp3a 1498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
42	36, 41	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
43	42	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
44	13, 27	ltsubposd 11907	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁))
45	43, 44	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁)
46		modid 14041	. . 3 ⊢ ((((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) < 𝑁)) → ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁) = (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
47	23, 15, 35, 45, 46	syl22anc 852	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) mod 𝑁) = (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)))
48		nncn 12348	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49	48	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
50	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℂ)
51	4	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	subsub3d 11704	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))
53	18, 47, 52	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ 𝐵 < 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝐴) − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205   + caddc 11208   < clt 11348   ≤ cle 11349   − cmin 11546   -cneg 11547  ℕcn 12340  ℕ₀cn0 12611  ℤcz 12698  ℝ⁺crp 13125  ..^cfzo 13793   mod cmo 14014

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-mod 14015

This theorem is used by:  gpgedgvtx1  49267