Theorem modmknepk 47524

Description: A nonnegative integer less than the modulus plus/minus a positive integer less than (the ceiling of) half of the modulus are not equal modulo the modulus. For this theorem, it is essential that 𝐾 < (𝑁 / 2)! (Contributed by AV, 3-Sep-2025.) (Revised by AV, 15-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
modmknepk.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
modmknepk.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modmknepk	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem modmknepk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz3nn 12793	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13566	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
4		modmknepk.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
5	3, 4	eleq2s 2851	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ ℤ)
7		elfzoelz 13566	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
8		modmknepk.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
9	7, 8	eleq2s 2851	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
11	9	zcnd 12588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℂ)
12	11	2timesd 12375	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
13	12	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
15		1red 11124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ∈ ℝ)
16	9	zred 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ)
17		2z 12514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 2 ∈ ℤ)
19	18, 9	zmulcld 12593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
20	19	zred 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) ∈ ℝ)
21		elfzole1 13574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ≤ 𝐾)
22	21, 8	eleq2s 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ≤ 𝐾)
23		elfzo1 13619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
24	23	simp1bi 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
25	24, 8	eleq2s 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ)
26	25	nnnn0d 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ0)
27		nn0le2x 12446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
29	15, 16, 20, 22, 28	letrd 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ≤ (2 · 𝐾))
30	29	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 1 ≤ (2 · 𝐾))
31	8	eleq2i 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
32		2tceilhalfelfzo1 47494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
33	31, 32	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
34	30, 33	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁))
35		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ 1 ≤ (2 · 𝐾)))
36		breq1 5098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((𝐾 + 𝐾) < 𝑁 ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
37	35, 36	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁) ↔ (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁)))
38	34, 37	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)))
39	14, 38	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
40	39	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
41		submodneaddmod 47513	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁))
42	41	necomd 2984	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))
43	2, 6, 10, 10, 40, 42	syl131anc 1385	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355   / cdiv 11785  ℕcn 12136  2c2 12191  3c3 12192  ℕ₀cn0 12392  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742  ..^cfzo 13561  ⌈cceil 13702   mod cmo 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-ceil 13704  df-mod 13781  df-dvds 16171

This theorem is referenced by:  modm1nep1  47527  gpgedg2iv  48229  gpg3nbgrvtx0ALT  48239  gpg3nbgrvtx1  48240