Theorem modmknepk 47486

Description: A nonnegative integer less than the modulus plus/minus a positive integer less than (the ceiling of) half of the modulus are not equal modulo the modulus. For this theorem, it is essential that 𝐾 < (𝑁 / 2)! (Contributed by AV, 3-Sep-2025.) (Revised by AV, 15-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
modmknepk.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
modmknepk.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modmknepk	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem modmknepk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz3nn 12789	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13561	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
4		modmknepk.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
5	3, 4	eleq2s 2851	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ ℤ)
7		elfzoelz 13561	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
8		modmknepk.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
9	7, 8	eleq2s 2851	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
11	9	zcnd 12584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℂ)
12	11	2timesd 12371	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
13	12	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
15		1red 11120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ∈ ℝ)
16	9	zred 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ)
17		2z 12510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 2 ∈ ℤ)
19	18, 9	zmulcld 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
20	19	zred 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) ∈ ℝ)
21		elfzole1 13569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ≤ 𝐾)
22	21, 8	eleq2s 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ≤ 𝐾)
23		elfzo1 13614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
24	23	simp1bi 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
25	24, 8	eleq2s 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ)
26	25	nnnn0d 12449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ0)
27		nn0le2x 12442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
29	15, 16, 20, 22, 28	letrd 11277	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ≤ (2 · 𝐾))
30	29	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 1 ≤ (2 · 𝐾))
31	8	eleq2i 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
32		2tceilhalfelfzo1 47456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
33	31, 32	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
34	30, 33	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁))
35		breq2 5097	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ 1 ≤ (2 · 𝐾)))
36		breq1 5096	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((𝐾 + 𝐾) < 𝑁 ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
37	35, 36	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁) ↔ (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁)))
38	34, 37	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)))
39	14, 38	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
40	39	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
41		submodneaddmod 47475	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁))
42	41	necomd 2984	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))
43	2, 6, 10, 10, 40, 42	syl131anc 1385	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351   / cdiv 11781  ℕcn 12132  2c2 12187  3c3 12188  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738  ..^cfzo 13556  ⌈cceil 13697   mod cmo 13775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-ceil 13699  df-mod 13776  df-dvds 16166

This theorem is referenced by:  modm1nep1  47489  gpgedg2iv  48191  gpg3nbgrvtx0ALT  48201  gpg3nbgrvtx1  48202