Theorem modmknepk 47393

Description: A nonnegative integer less than the modulus plus/minus a positive integer less than (the ceiling of) half of the modulus are not equal modulo the modulus. For this theorem, it is essential that 𝐾 < (𝑁 / 2)! (Contributed by AV, 3-Sep-2025.) (Revised by AV, 15-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
modmknepk.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
modmknepk.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modmknepk	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem modmknepk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz3nn 12782	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13554	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
4		modmknepk.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
5	3, 4	eleq2s 2849	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ ℤ)
7		elfzoelz 13554	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
8		modmknepk.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
9	7, 8	eleq2s 2849	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
11	9	zcnd 12573	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℂ)
12	11	2timesd 12359	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
13	12	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
15		1red 11108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ∈ ℝ)
16	9	zred 12572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ)
17		2z 12499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 2 ∈ ℤ)
19	18, 9	zmulcld 12578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
20	19	zred 12572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) ∈ ℝ)
21		elfzole1 13562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ≤ 𝐾)
22	21, 8	eleq2s 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ≤ 𝐾)
23		elfzo1 13607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
24	23	simp1bi 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
25	24, 8	eleq2s 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ)
26	25	nnnn0d 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ0)
27		nn0le2x 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
29	15, 16, 20, 22, 28	letrd 11265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ≤ (2 · 𝐾))
30	29	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 1 ≤ (2 · 𝐾))
31	8	eleq2i 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
32		2tceilhalfelfzo1 47363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
33	31, 32	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
34	30, 33	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁))
35		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ 1 ≤ (2 · 𝐾)))
36		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((𝐾 + 𝐾) < 𝑁 ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
37	35, 36	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁) ↔ (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁)))
38	34, 37	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)))
39	14, 38	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
40	39	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
41		submodneaddmod 47382	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁))
42	41	necomd 2983	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))
43	2, 6, 10, 10, 40, 42	syl131anc 1385	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339   / cdiv 11769  ℕcn 12120  2c2 12175  3c3 12176  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727  ..^cfzo 13549  ⌈cceil 13690   mod cmo 13768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-ceil 13692  df-mod 13769  df-dvds 16159

This theorem is referenced by:  modm1nep1  47396  gpgedg2iv  48098  gpg3nbgrvtx0ALT  48108  gpg3nbgrvtx1  48109