Theorem modmknepk 48138

Description: A nonnegative integer less than the modulus plus/minus a positive integer less than (the ceiling of) half of the modulus are not equal modulo the modulus. For this theorem, it is essential that 𝐾 < (𝑁 / 2)! (Contributed by AV, 3-Sep-2025.) (Revised by AV, 15-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
modmknepk.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
modmknepk.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modmknepk	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem modmknepk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz3nn 12925	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13700	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
4		modmknepk.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
5	3, 4	eleq2s 2883	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ ℤ)
7		elfzoelz 13700	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
8		modmknepk.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
9	7, 8	eleq2s 2883	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
11	9	zcnd 12713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℂ)
12	11	2timesd 12498	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
13	12	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
15		1red 11220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ∈ ℝ)
16	9	zred 12712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ)
17		2z 12637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 2 ∈ ℤ)
19	18, 9	zmulcld 12718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
20	19	zred 12712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) ∈ ℝ)
21		elfzole1 13709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ≤ 𝐾)
22	21, 8	eleq2s 2883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ≤ 𝐾)
23		elfzo1 13754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
24	23	simp1bi 1163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
25	24, 8	eleq2s 2883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ)
26	25	nnnn0d 12576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ0)
27		nn0le2x 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
29	15, 16, 20, 22, 28	letrd 11378	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ≤ (2 · 𝐾))
30	29	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 1 ≤ (2 · 𝐾))
31	8	eleq2i 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
32		2tceilhalfelfzo1 48106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
33	31, 32	sylan2b 606	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
34	30, 33	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁))
35		breq2 5115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ 1 ≤ (2 · 𝐾)))
36		breq1 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((𝐾 + 𝐾) < 𝑁 ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
37	35, 36	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁) ↔ (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁)))
38	34, 37	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)))
39	14, 38	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
40	39	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
41		submodneaddmod 48127	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁))
42	41	necomd 3015	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))
43	2, 6, 10, 10, 40, 42	syl131anc 1410	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  3c3 12307  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  ..^cfzo 13695  ⌈cceil 13838   mod cmo 13916

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-ceil 13840  df-mod 13917  df-dvds 16329

This theorem is used by:  modm1nep1  48141  gpgedg2iv  48865  gpg3nbgrvtx0ALT  48875  gpg3nbgrvtx1  48876