Theorem modmknepk 47366

Description: A nonnegative integer less than the modulus plus/minus a positive integer less than (the ceiling of) half of the modulus are not equal modulo the modulus. For this theorem, it is essential that 𝐾 < (𝑁 / 2)! (Contributed by AV, 3-Sep-2025.) (Revised by AV, 15-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
modmknepk.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
modmknepk.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modmknepk	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem modmknepk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz3nn 12809	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13581	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
4		modmknepk.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
5	3, 4	eleq2s 2846	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ ℤ)
7		elfzoelz 13581	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
8		modmknepk.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
9	7, 8	eleq2s 2846	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
11	9	zcnd 12600	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℂ)
12	11	2timesd 12386	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
13	12	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
15		1red 11135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ∈ ℝ)
16	9	zred 12599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ)
17		2z 12526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 2 ∈ ℤ)
19	18, 9	zmulcld 12605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
20	19	zred 12599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (2 · 𝐾) ∈ ℝ)
21		elfzole1 13589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ≤ 𝐾)
22	21, 8	eleq2s 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ≤ 𝐾)
23		elfzo1 13634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
24	23	simp1bi 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
25	24, 8	eleq2s 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ)
26	25	nnnn0d 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ0)
27		nn0le2x 12457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
29	15, 16, 20, 22, 28	letrd 11292	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 1 ≤ (2 · 𝐾))
30	29	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 1 ≤ (2 · 𝐾))
31	8	eleq2i 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
32		2tceilhalfelfzo1 47336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
33	31, 32	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
34	30, 33	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁))
35		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ 1 ≤ (2 · 𝐾)))
36		breq1 5098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((𝐾 + 𝐾) < 𝑁 ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
37	35, 36	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁) ↔ (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁)))
38	34, 37	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)))
39	14, 38	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
40	39	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
41		submodneaddmod 47355	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁))
42	41	necomd 2980	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))
43	2, 6, 10, 10, 40, 42	syl131anc 1385	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12147  2c2 12202  3c3 12203  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12754  ..^cfzo 13576  ⌈cceil 13714   mod cmo 13792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-ceil 13716  df-mod 13793  df-dvds 16183

This theorem is referenced by:  modm1nep1  47369  gpgedg2iv  48071  gpg3nbgrvtx0ALT  48081  gpg3nbgrvtx1  48082