Theorem m1modnep2mod 48123

Description: A nonnegative integer minus 1 is not itself plus 2 modulo an integer greater than 3 and the nonnegative integer. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
m1modnep2mod	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 + 2) mod 𝑁))

Proof of Theorem m1modnep2mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz4nn 12920	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		2z 12632	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
6		1zzd 12631	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
7		1le3 12461	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 3
8		2p1e3 12388	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
9	7, 8	breqtrri 5137	. . . 4 ⊢ 1 ≤ (2 + 1)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 ≤ (2 + 1))
11		eluz2 12874	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑁))
12		df-4 12311	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (3 + 1)
13	12	breq1i 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ≤ 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁)
14		3z 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℤ → 3 ∈ ℤ)
16		zltp1le 12650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
17	15, 16	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
18	17	biimprd 251	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((3 + 1) ≤ 𝑁 → 3 < 𝑁))
19	13, 18	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (4 ≤ 𝑁 → 3 < 𝑁))
20	19	3impia 1134	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
21	11, 20	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 3 < 𝑁)
22	8, 21	eqbrtrid 5145	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 + 1) < 𝑁)
23	22	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 + 1) < 𝑁)
24		submodneaddmod 48122	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (2 + 1) ∧ (2 + 1) < 𝑁)) → ((𝐴 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
25	2, 3, 5, 6, 10, 23, 24	syl132anc 1414	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
26	25	necomd 3012	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 + 2) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447  ℕcn 12239  2c2 12301  3c3 12302  4c4 12303  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868   mod cmo 13909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-dvds 16317

This theorem is used by:  gpg5nbgrvtx03starlem2  48862