Theorem m1modnep2mod 47327

Description: A nonnegative integer minus 1 is not itself plus 2 modulo an integer greater than 3 and the nonnegative integer. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
m1modnep2mod	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 + 2) mod 𝑁))

Proof of Theorem m1modnep2mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz4nn 12924	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		2z 12645	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
6		1zzd 12644	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
7		1le3 12474	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 3
8		2p1e3 12404	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
9	7, 8	breqtrri 5168	. . . 4 ⊢ 1 ≤ (2 + 1)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 ≤ (2 + 1))
11		eluz2 12880	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑁))
12		df-4 12327	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (3 + 1)
13	12	breq1i 5148	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ≤ 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁)
14		3z 12646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℤ → 3 ∈ ℤ)
16		zltp1le 12663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
17	15, 16	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
18	17	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((3 + 1) ≤ 𝑁 → 3 < 𝑁))
19	13, 18	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (4 ≤ 𝑁 → 3 < 𝑁))
20	19	3impia 1118	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
21	11, 20	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 3 < 𝑁)
22	8, 21	eqbrtrid 5176	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 + 1) < 𝑁)
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 + 1) < 𝑁)
24		submodneaddmod 47326	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (2 + 1) ∧ (2 + 1) < 𝑁)) → ((𝐴 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
25	2, 3, 5, 6, 10, 23, 24	syl132anc 1390	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
26	25	necomd 2995	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 + 2) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939   class class class wbr 5141  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  1c1 11152   + caddc 11154   < clt 11291   ≤ cle 11292   − cmin 11488  ℕcn 12262  2c2 12317  3c3 12318  4c4 12319  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12874   mod cmo 13905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-rp 13031  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-dvds 16287

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx03starlem2  47998