Theorem m1modnep2mod 47835

Description: A nonnegative integer minus 1 is not itself plus 2 modulo an integer greater than 3 and the nonnegative integer. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
m1modnep2mod	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 + 2) mod 𝑁))

Proof of Theorem m1modnep2mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz4nn 12835	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		2z 12554	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
6		1zzd 12553	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
7		1le3 12383	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 3
8		2p1e3 12313	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
9	7, 8	breqtrri 5102	. . . 4 ⊢ 1 ≤ (2 + 1)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 ≤ (2 + 1))
11		eluz2 12789	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑁))
12		df-4 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (3 + 1)
13	12	breq1i 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ≤ 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁)
14		3z 12555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℤ → 3 ∈ ℤ)
16		zltp1le 12572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
17	15, 16	sylan 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
18	17	biimprd 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((3 + 1) ≤ 𝑁 → 3 < 𝑁))
19	13, 18	biimtrid 244	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (4 ≤ 𝑁 → 3 < 𝑁))
20	19	3impia 1124	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
21	11, 20	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 3 < 𝑁)
22	8, 21	eqbrtrid 5110	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 + 1) < 𝑁)
23	22	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 + 1) < 𝑁)
24		submodneaddmod 47834	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (2 + 1) ∧ (2 + 1) < 𝑁)) → ((𝐴 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
25	2, 3, 5, 6, 10, 23, 24	syl132anc 1397	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
26	25	necomd 2991	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 + 2) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783   mod cmo 13823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-dvds 16217

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx03starlem2  48574