Theorem m1modnep2mod 48233

Description: A nonnegative integer minus 1 is not itself plus 2 modulo an integer greater than 3 and the nonnegative integer. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
m1modnep2mod	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 + 2) mod 𝑁))

Proof of Theorem m1modnep2mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz4nn 12942	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		2z 12653	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
6		1zzd 12652	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
7		1le3 12482	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 3
8		2p1e3 12409	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
9	7, 8	breqtrri 5136	. . . 4 ⊢ 1 ≤ (2 + 1)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 ≤ (2 + 1))
11		eluz2 12896	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑁))
12		df-4 12332	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (3 + 1)
13	12	breq1i 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ≤ 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁)
14		3z 12654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℤ → 3 ∈ ℤ)
16		zltp1le 12671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
17	15, 16	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
18	17	biimprd 251	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((3 + 1) ≤ 𝑁 → 3 < 𝑁))
19	13, 18	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (4 ≤ 𝑁 → 3 < 𝑁))
20	19	3impia 1135	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
21	11, 20	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 3 < 𝑁)
22	8, 21	eqbrtrid 5144	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 + 1) < 𝑁)
23	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 + 1) < 𝑁)
24		submodneaddmod 48232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (2 + 1) ∧ (2 + 1) < 𝑁)) → ((𝐴 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
25	2, 3, 5, 6, 10, 23, 24	syl132anc 1415	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
26	25	necomd 3012	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 + 2) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℕcn 12260  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890   mod cmo 13932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-dvds 16347

This theorem is used by:  gpg5nbgrvtx03starlem2  48972