Theorem m1modnep2mod 47818

Description: A nonnegative integer minus 1 is not itself plus 2 modulo an integer greater than 3 and the nonnegative integer. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
m1modnep2mod	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 + 2) mod 𝑁))

Proof of Theorem m1modnep2mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz4nn 12831	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		2z 12550	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
6		1zzd 12549	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
7		1le3 12379	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 3
8		2p1e3 12309	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
9	7, 8	breqtrri 5113	. . . 4 ⊢ 1 ≤ (2 + 1)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 ≤ (2 + 1))
11		eluz2 12785	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑁))
12		df-4 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (3 + 1)
13	12	breq1i 5093	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ≤ 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁)
14		3z 12551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℤ → 3 ∈ ℤ)
16		zltp1le 12568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
17	15, 16	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
18	17	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((3 + 1) ≤ 𝑁 → 3 < 𝑁))
19	13, 18	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (4 ≤ 𝑁 → 3 < 𝑁))
20	19	3impia 1118	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
21	11, 20	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 3 < 𝑁)
22	8, 21	eqbrtrid 5121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 + 1) < 𝑁)
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 + 1) < 𝑁)
24		submodneaddmod 47817	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (2 + 1) ∧ (2 + 1) < 𝑁)) → ((𝐴 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
25	2, 3, 5, 6, 10, 23, 24	syl132anc 1391	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
26	25	necomd 2988	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 + 2) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779   mod cmo 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx03starlem2  48557