Theorem subridom 33670

Description: A subring of an integral domain is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subridom.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
subridom.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subridom	⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ IDomn)

Proof of Theorem subridom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subridom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20875	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3		subridom.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
5	4	subrgcrng 20724	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
6	2, 3, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
7	1	idomdomd 20874	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8	7, 3	subrdom 33669	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)
9		isidom 20873	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ IDomn ↔ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn))
10	6, 8, 9	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ IDomn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↾_s cress 17312  CRingccrg 20360  SubRingcsubrg 20718  Domncdomn 20841  IDomncidom 20842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-subg 19233  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-nzr 20660  df-subrg 20719  df-domn 20844  df-idom 20845

This theorem is used by:  subrfld  33671