Theorem subridom 33289

Description: A subring of an integral domain is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subridom.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
subridom.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subridom	⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ IDomn)

Proof of Theorem subridom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subridom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20727	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3		subridom.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
5	4	subrgcrng 20575	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
6	2, 3, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
7	1	idomdomd 20726	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8	7, 3	subrdom 33288	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)
9		isidom 20725	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ IDomn ↔ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn))
10	6, 8, 9	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ IDomn)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↾_s cress 17274  CRingccrg 20231  SubRingcsubrg 20569  Domncdomn 20692  IDomncidom 20693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-domn 20695  df-idom 20696

This theorem is referenced by:  subrfld  33290