Theorem subridom 33220

Description: A subring of an integral domain is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subridom.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
subridom.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subridom	⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ IDomn)

Proof of Theorem subridom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subridom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3		subridom.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
5	4	subrgcrng 20444	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
6	2, 3, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
7	1	idomdomd 20595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8	7, 3	subrdom 33219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)
9		isidom 20594	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ IDomn ↔ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn))
10	6, 8, 9	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ IDomn)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   ↾_s cress 17128  CRingccrg 20106  SubRingcsubrg 20438  Domncdomn 20561  IDomncidom 20562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-0g 17332  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-subg 18989  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-ring 20107  df-cring 20108  df-nzr 20382  df-subrg 20439  df-domn 20564  df-idom 20565

This theorem is referenced by:  subrfld  33221