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Theorem fsumadd 15726
Description: The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsumadd.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fsumadd.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fsumadd (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem fsumadd
Dummy variables 𝑓 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 00id 11427 . . . . 5 (0 + 0) = 0
2 sum0 15707 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
3 sum0 15707 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢 = 0
42, 3oveq12i 7438 . . . . 5 (Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢) = (0 + 0)
5 sum0 15707 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 + 𝐢) = 0
61, 4, 53eqtr4ri 2767 . . . 4 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢)
7 sumeq1 15675 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 + 𝐢))
8 sumeq1 15675 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
9 sumeq1 15675 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢)
108, 9oveq12d 7444 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢))
116, 7, 103eqtr4a 2794 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
13 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
14 nnuz 12903 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1513, 14eleqtrdi 2839 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
16 fsumadd.2 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1716adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1817fmpttd 7130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
19 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
20 f1of 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
22 fco 6752 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2318, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2423ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
25 fsumadd.3 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2625adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2726fmpttd 7130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
28 fco 6752 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2927, 21, 28syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
3029ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
3121ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴)
32 ovex 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 + 𝐢) ∈ V
33 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))
3433fvmpt2 7021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝐡 + 𝐢) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (𝐡 + 𝐢))
3532, 34mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (𝐡 + 𝐢))
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (𝐡 + 𝐢))
37 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
38 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
3938fvmpt2 7021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
4037, 16, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
41 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
4241fvmpt2 7021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = 𝐢)
4337, 25, 42syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = 𝐢)
4440, 43oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) = (𝐡 + 𝐢))
4536, 44eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)))
4645ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)))
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)))
48 nffvmpt1 6913 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›))
49 nffvmpt1 6913 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›))
50 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜ +
51 nffvmpt1 6913 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))
5249, 50, 51nfov 7456 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
5348, 52nfeq 2913 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
54 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
55 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
56 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
5755, 56oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
5854, 57eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))))
5953, 58rspc 3599 . . . . . . . . . 10 ((π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))))
6031, 47, 59sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
61 fvco3 7002 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6221, 61sylan 578 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
63 fvco3 7002 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6421, 63sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
65 fvco3 7002 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6621, 65sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6764, 66oveq12d 7444 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) + (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
6860, 62, 673eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) + (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
6915, 24, 30, 68seradd 14049 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) = ((seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) + (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄))))
70 fveq2 6902 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7117, 26addcld 11271 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚)
7271fmpttd 7130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚)
7372ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
7470, 13, 19, 73, 62fsum 15706 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
75 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7618ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
7775, 13, 19, 76, 64fsum 15706 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
78 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7927ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
8078, 13, 19, 79, 66fsum 15706 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
8177, 80oveq12d 7444 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) + Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)) = ((seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) + (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄))))
8269, 74, 813eqtr4d 2778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) = (Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) + Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)))
83 sumfc 15695 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢)
84 sumfc 15695 . . . . . . 7 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
85 sumfc 15695 . . . . . . 7 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢
8684, 85oveq12i 7438 . . . . . 6 (Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) + Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)
8782, 83, 863eqtr3g 2791 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
8887expr 455 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
8988exlimdv 1928 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
9089expimpd 452 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
91 fsumadd.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
92 fz1f1o 15696 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
9391, 92syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
9412, 90, 93mpjaod 858 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473  βˆ…c0 4326   ↦ cmpt 5235   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  β„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  β„•cn 12250  β„€β‰₯cuz 12860  ...cfz 13524  seqcseq 14006  β™―chash 14329  Ξ£csu 15672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673
This theorem is referenced by:  fsumsplit  15727  fsumsub  15774  binomlem  15815  binomfallfaclem2  16024  pwp1fsum  16375  pcbc  16876  csbren  25347  trirn  25348  ovollb2lem  25437  ovoliunlem1  25451  itg1addlem5  25650  itgsplit  25785  plyaddlem1  26167  basellem8  27040  logfaclbnd  27175  dchrvmasum2if  27450  mudivsum  27483  logsqvma  27495  selberglem1  27498  selberglem2  27499  selberg  27501  selberg2  27504  selberg3lem1  27510  selberg4  27514  pntsval2  27529  ax5seglem9  28768  finsumvtxdg2ssteplem4  29382  nicomachus  41903  dvnmul  45360  dirkertrigeqlem2  45516  sge0xaddlem1  45850  sge0xaddlem2  45851  hoidmvlelem2  46013  altgsumbcALT  47495
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