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Theorem fsumadd 15630
Description: The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsumadd.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fsumadd.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fsumadd (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem fsumadd
Dummy variables 𝑓 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 00id 11335 . . . . 5 (0 + 0) = 0
2 sum0 15611 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
3 sum0 15611 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢 = 0
42, 3oveq12i 7370 . . . . 5 (Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢) = (0 + 0)
5 sum0 15611 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 + 𝐢) = 0
61, 4, 53eqtr4ri 2772 . . . 4 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢)
7 sumeq1 15579 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 + 𝐢))
8 sumeq1 15579 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
9 sumeq1 15579 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢)
108, 9oveq12d 7376 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢))
116, 7, 103eqtr4a 2799 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
13 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
14 nnuz 12811 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1513, 14eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
16 fsumadd.2 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1716adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1817fmpttd 7064 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
19 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
20 f1of 6785 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
22 fco 6693 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2318, 21, 22syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2423ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
25 fsumadd.3 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2726fmpttd 7064 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
28 fco 6693 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2927, 21, 28syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
3029ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
3121ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴)
32 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 + 𝐢) ∈ V
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))
3433fvmpt2 6960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝐡 + 𝐢) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (𝐡 + 𝐢))
3532, 34mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (𝐡 + 𝐢))
3635adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (𝐡 + 𝐢))
37 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
38 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
3938fvmpt2 6960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
4037, 16, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
41 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
4241fvmpt2 6960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = 𝐢)
4337, 25, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = 𝐢)
4440, 43oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) = (𝐡 + 𝐢))
4536, 44eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)))
4645ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)))
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)))
48 nffvmpt1 6854 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›))
49 nffvmpt1 6854 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›))
50 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜ +
51 nffvmpt1 6854 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))
5249, 50, 51nfov 7388 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
5348, 52nfeq 2917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
54 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
55 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
56 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
5755, 56oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
5854, 57eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))))
5953, 58rspc 3568 . . . . . . . . . 10 ((π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))))
6031, 47, 59sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
61 fvco3 6941 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6221, 61sylan 581 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
63 fvco3 6941 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6421, 63sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
65 fvco3 6941 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6621, 65sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6764, 66oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) + (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
6860, 62, 673eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) + (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
6915, 24, 30, 68seradd 13956 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) = ((seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) + (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄))))
70 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7117, 26addcld 11179 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚)
7271fmpttd 7064 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚)
7372ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
7470, 13, 19, 73, 62fsum 15610 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
75 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7618ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
7775, 13, 19, 76, 64fsum 15610 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
78 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7927ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
8078, 13, 19, 79, 66fsum 15610 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
8177, 80oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) + Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)) = ((seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) + (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄))))
8269, 74, 813eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) = (Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) + Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)))
83 sumfc 15599 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢)
84 sumfc 15599 . . . . . . 7 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
85 sumfc 15599 . . . . . . 7 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢
8684, 85oveq12i 7370 . . . . . 6 (Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) + Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)
8782, 83, 863eqtr3g 2796 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
8887expr 458 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
8988exlimdv 1937 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
9089expimpd 455 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
91 fsumadd.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
92 fz1f1o 15600 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
9391, 92syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
9412, 90, 93mpjaod 859 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444  βˆ…c0 4283   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  β„•cn 12158  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  seqcseq 13912  β™―chash 14236  Ξ£csu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  fsumsplit  15631  fsumsub  15678  binomlem  15719  binomfallfaclem2  15928  pwp1fsum  16278  pcbc  16777  csbren  24779  trirn  24780  ovollb2lem  24868  ovoliunlem1  24882  itg1addlem5  25081  itgsplit  25216  plyaddlem1  25590  basellem8  26453  logfaclbnd  26586  dchrvmasum2if  26861  mudivsum  26894  logsqvma  26906  selberglem1  26909  selberglem2  26910  selberg  26912  selberg2  26915  selberg3lem1  26921  selberg4  26925  pntsval2  26940  ax5seglem9  27928  finsumvtxdg2ssteplem4  28538  dvnmul  44270  dirkertrigeqlem2  44426  sge0xaddlem1  44760  sge0xaddlem2  44761  hoidmvlelem2  44923  altgsumbcALT  46515
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