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Theorem fsumadd 15692
Description: The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsumadd.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fsumadd.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fsumadd (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem fsumadd
Dummy variables 𝑓 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 00id 11393 . . . . 5 (0 + 0) = 0
2 sum0 15673 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
3 sum0 15673 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢 = 0
42, 3oveq12i 7417 . . . . 5 (Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢) = (0 + 0)
5 sum0 15673 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 + 𝐢) = 0
61, 4, 53eqtr4ri 2765 . . . 4 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢)
7 sumeq1 15641 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 + 𝐢))
8 sumeq1 15641 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
9 sumeq1 15641 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢)
108, 9oveq12d 7423 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐢))
116, 7, 103eqtr4a 2792 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
13 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
14 nnuz 12869 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1513, 14eleqtrdi 2837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
16 fsumadd.2 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1716adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1817fmpttd 7110 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
19 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
20 f1of 6827 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
22 fco 6735 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2318, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2423ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
25 fsumadd.3 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2625adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2726fmpttd 7110 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
28 fco 6735 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2927, 21, 28syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
3029ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
3121ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴)
32 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 + 𝐢) ∈ V
33 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))
3433fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝐡 + 𝐢) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (𝐡 + 𝐢))
3532, 34mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (𝐡 + 𝐢))
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (𝐡 + 𝐢))
37 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
38 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
3938fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
4037, 16, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
41 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
4241fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = 𝐢)
4337, 25, 42syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = 𝐢)
4440, 43oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) = (𝐡 + 𝐢))
4536, 44eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)))
4645ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)))
4746ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)))
48 nffvmpt1 6896 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›))
49 nffvmpt1 6896 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›))
50 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜ +
51 nffvmpt1 6896 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))
5249, 50, 51nfov 7435 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
5348, 52nfeq 2910 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
54 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
55 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
56 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
5755, 56oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
5854, 57eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))))
5953, 58rspc 3594 . . . . . . . . . 10 ((π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))))
6031, 47, 59sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
61 fvco3 6984 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6221, 61sylan 579 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
63 fvco3 6984 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6421, 63sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
65 fvco3 6984 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6621, 65sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6764, 66oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) + (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) + ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
6860, 62, 673eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) + (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
6915, 24, 30, 68seradd 14015 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) = ((seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) + (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄))))
70 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7117, 26addcld 11237 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚)
7271fmpttd 7110 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚)
7372ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
7470, 13, 19, 73, 62fsum 15672 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
75 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7618ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
7775, 13, 19, 76, 64fsum 15672 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
78 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7927ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
8078, 13, 19, 79, 66fsum 15672 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
8177, 80oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) + Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)) = ((seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) + (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄))))
8269, 74, 813eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) = (Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) + Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)))
83 sumfc 15661 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢)
84 sumfc 15661 . . . . . . 7 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
85 sumfc 15661 . . . . . . 7 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢
8684, 85oveq12i 7417 . . . . . 6 (Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) + Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)
8782, 83, 863eqtr3g 2789 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
8887expr 456 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
8988exlimdv 1928 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
9089expimpd 453 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
91 fsumadd.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
92 fz1f1o 15662 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
9391, 92syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
9412, 90, 93mpjaod 857 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 + 𝐢) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•cn 12216  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  β™―chash 14295  Ξ£csu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  fsumsplit  15693  fsumsub  15740  binomlem  15781  binomfallfaclem2  15990  pwp1fsum  16341  pcbc  16842  csbren  25282  trirn  25283  ovollb2lem  25372  ovoliunlem1  25386  itg1addlem5  25585  itgsplit  25720  plyaddlem1  26102  basellem8  26975  logfaclbnd  27110  dchrvmasum2if  27385  mudivsum  27418  logsqvma  27430  selberglem1  27433  selberglem2  27434  selberg  27436  selberg2  27439  selberg3lem1  27445  selberg4  27449  pntsval2  27464  ax5seglem9  28703  finsumvtxdg2ssteplem4  29314  nicomachus  41765  dvnmul  45228  dirkertrigeqlem2  45384  sge0xaddlem1  45718  sge0xaddlem2  45719  hoidmvlelem2  45881  altgsumbcALT  47302
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