MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcl2lem 14671
Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcllem.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
fsumcllem.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
fsumcllem.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcllem.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
fsumcl2lem.5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
fsumcl2lem (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl2lem
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcl2lem.5 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
21a1d 25 . . 3 (𝜑 → (¬ Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆𝐴 ≠ ∅))
32necon4bd 2963 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆))
4 sumfc 14649 . . . . . . 7 Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐵
5 fveq2 6333 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑥) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑥)))
6 simprl 748 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
7 simprr 750 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
8 fsumcllem.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
98ad2antrr 699 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10 fsumcllem.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
11 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1210, 11fmptd 6528 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆)
1312adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆)
1413ffvelrnda 6503 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ 𝑆)
159, 14sseldd 3754 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
16 f1of 6279 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
177, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
18 fvco3 6418 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑥)))
1917, 18sylan 563 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑥)))
205, 6, 7, 15, 19fsum 14660 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
214, 20syl5eqr 2819 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
22 nnuz 11926 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
236, 22syl6eleq 2860 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
24 fco 6199 . . . . . . . . 9 (((𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶𝑆)
2513, 17, 24syl2anc 567 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶𝑆)
2625ffvelrnda 6503 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) ∈ 𝑆)
27 fsumcllem.2 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2827adantlr 688 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2923, 26, 28seqcl 13029 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)) ∈ 𝑆)
3021, 29eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
3130expr 444 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆))
3231exlimdv 2013 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆))
3332expimpd 441 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆))
34 fsumcllem.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
35 fz1f1o 14650 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
3634, 35syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
373, 33, 36mpjaod 841 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  wo 828   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wss 3724  c0 4064  cmpt 4864  ccom 5254  wf 6028  1-1-ontowf1o 6031  cfv 6032  (class class class)co 6794  Fincfn 8110  cc 10137  1c1 10140   + caddc 10142  cn 11223  cuz 11889  ...cfz 12534  seqcseq 13009  chash 13322  Σcsu 14625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8966  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-rp 12037  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-seq 13010  df-exp 13069  df-hash 13323  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-clim 14428  df-sum 14626
This theorem is referenced by:  fsumcllem  14672  fsumrpcl  14677
  Copyright terms: Public domain W3C validator