Theorem fsumcl2lem 15673

Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
fsumcllem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
fsumcllem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcllem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
fsumcl2lem.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl2lem	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl2lem

Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcl2lem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → 𝐴 ≠ ∅))
3	2	necon4bd 2960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
4		sumfc 15651	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
5		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑓‘𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
6		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
7		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
8		fsumcllem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10		fsumcllem.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
11	10	fmpttd 7111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆)
13	12	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ 𝑆)
14	9, 13	sseldd 3982	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
15		f1of 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
16	7, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
17		fvco3 6987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
18	16, 17	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
19	5, 6, 7, 14, 18	fsum 15662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
20	4, 19	eqtr3id 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
21		nnuz 12861	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
22	6, 21	eleqtrdi 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
23		fco 6738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶𝑆)
24	12, 16, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶𝑆)
25	24	ffvelcdmda 7083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) ∈ 𝑆)
26		fsumcllem.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27	26	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
28	22, 25, 27	seqcl 13984	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)) ∈ 𝑆)
29	20, 28	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
30	29	expr 457	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
31	30	exlimdv 1936	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
32	31	expimpd 454	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
33		fsumcllem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
34		fz1f1o 15652	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
35	33, 34	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
36	3, 32, 35	mpjaod 858	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  ℂcc 11104  1c1 11107   + caddc 11109  ℕcn 12208  ℤ_≥cuz 12818  ...cfz 13480  seqcseq 13962  ♯chash 14286  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  fsumcllem  15674  fsumrpcl  15679