MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isummulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isummulc2 15750
Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumcl.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isumcl.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
isumcl.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
isumcl.5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
isummulc2 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐡 Β· 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem isummulc2
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumcl.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 isumcl.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 eqidd 2729 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š))
4 summulc.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
54adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 isumcl.4 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
75, 6mulcld 11274 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐡 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
87fmpttd 7130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴)):π‘βŸΆβ„‚)
98ffvelcdmda 7099 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
10 isumcl.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
11 isumcl.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
121, 2, 10, 6, 11isumclim2 15746 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
1310, 6eqeltrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1413ralrimiva 3143 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
15 fveq2 6902 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
1615eleq1d 2814 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚))
1716rspccva 3610 . . . . 5 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
1814, 17sylan 578 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
19 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
20 ovex 7459 . . . . . . . 8 (𝐡 Β· 𝐴) ∈ V
21 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))
2221fvmpt2 7021 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (𝐡 Β· 𝐴) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· 𝐴))
2319, 20, 22sylancl 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· 𝐴))
2410oveq2d 7442 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝐡 Β· 𝐴))
2523, 24eqtr4d 2771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
2625ralrimiva 3143 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
27 nffvmpt1 6913 . . . . . . 7 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š)
2827nfeq1 2915 . . . . . 6 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š))
29 fveq2 6902 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š))
3015oveq2d 7442 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š)))
3129, 30eqeq12d 2744 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š))))
3228, 31rspc 3599 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š))))
3326, 32mpan9 505 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š)))
341, 2, 4, 12, 18, 33isermulc2 15646 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))) ⇝ (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴))
351, 2, 3, 9, 34isumclim 15745 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴))
36 sumfc 15697 . 2 Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐡 Β· 𝐴)
3735, 36eqtr3di 2783 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐡 Β· 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146   + caddc 11151   Β· cmul 11153  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  seqcseq 14008   ⇝ cli 15470  Ξ£csu 15674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675
This theorem is referenced by:  isummulc1  15751  trirecip  15851  geoisum1c  15868  binomcxplemnotnn0  43842  isumneg  45037
  Copyright terms: Public domain W3C validator