MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isummulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isummulc2 15326
Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumcl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumcl.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumcl.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
isummulc2 (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isummulc2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumcl.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
4 summulc.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 isumcl.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
75, 6mulcld 10853 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
87fmpttd 6932 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)):𝑍⟶ℂ)
98ffvelrnda 6904 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) ∈ ℂ)
10 isumcl.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
11 isumcl.5 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
121, 2, 10, 6, 11isumclim2 15322 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
1310, 6eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413ralrimiva 3105 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
15 fveq2 6717 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
1615eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
1716rspccva 3536 . . . . 5 ((∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
1814, 17sylan 583 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
19 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
20 ovex 7246 . . . . . . . 8 (𝐵 · 𝐴) ∈ V
21 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))
2221fvmpt2 6829 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍 ∧ (𝐵 · 𝐴) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
2319, 20, 22sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
2410oveq2d 7229 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 · (𝐹𝑘)) = (𝐵 · 𝐴))
2523, 24eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)))
2625ralrimiva 3105 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)))
27 nffvmpt1 6728 . . . . . . 7 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚)
2827nfeq1 2919 . . . . . 6 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))
29 fveq2 6717 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
3015oveq2d 7229 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 · (𝐹𝑘)) = (𝐵 · (𝐹𝑚)))
3129, 30eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)) ↔ ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))))
3228, 31rspc 3525 . . . . 5 (𝑚𝑍 → (∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))))
3326, 32mpan9 510 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚)))
341, 2, 4, 12, 18, 33isermulc2 15221 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))) ⇝ (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴))
351, 2, 3, 9, 34isumclim 15321 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴))
36 sumfc 15273 . 2 Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴)
3735, 36eqtr3di 2793 1 (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  Vcvv 3408  cmpt 5135  dom cdm 5551  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727   + caddc 10732   · cmul 10734  cz 12176  cuz 12438  seqcseq 13574  cli 15045  Σcsu 15249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250
This theorem is referenced by:  isummulc1  15327  trirecip  15427  geoisum1c  15444  binomcxplemnotnn0  41647  isumneg  42818
  Copyright terms: Public domain W3C validator