MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isummulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isummulc2 15738
Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumcl.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isumcl.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
isumcl.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
isumcl.5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
isummulc2 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐡 Β· 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem isummulc2
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumcl.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 isumcl.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 eqidd 2726 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š))
4 summulc.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
54adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 isumcl.4 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
75, 6mulcld 11262 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐡 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
87fmpttd 7118 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴)):π‘βŸΆβ„‚)
98ffvelcdmda 7087 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
10 isumcl.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
11 isumcl.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
121, 2, 10, 6, 11isumclim2 15734 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
1310, 6eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1413ralrimiva 3136 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
15 fveq2 6890 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
1615eleq1d 2810 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚))
1716rspccva 3600 . . . . 5 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
1814, 17sylan 578 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
19 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
20 ovex 7447 . . . . . . . 8 (𝐡 Β· 𝐴) ∈ V
21 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))
2221fvmpt2 7009 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (𝐡 Β· 𝐴) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· 𝐴))
2319, 20, 22sylancl 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· 𝐴))
2410oveq2d 7430 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝐡 Β· 𝐴))
2523, 24eqtr4d 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
2625ralrimiva 3136 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
27 nffvmpt1 6901 . . . . . . 7 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š)
2827nfeq1 2908 . . . . . 6 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š))
29 fveq2 6890 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š))
3015oveq2d 7430 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š)))
3129, 30eqeq12d 2741 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š))))
3228, 31rspc 3589 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š))))
3326, 32mpan9 505 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š)))
341, 2, 4, 12, 18, 33isermulc2 15634 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))) ⇝ (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴))
351, 2, 3, 9, 34isumclim 15733 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴))
36 sumfc 15685 . 2 Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐡 Β· 𝐴)
3735, 36eqtr3di 2780 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐡 Β· 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5670  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  β„‚cc 11134   + caddc 11139   Β· cmul 11141  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  seqcseq 13996   ⇝ cli 15458  Ξ£csu 15662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663
This theorem is referenced by:  isummulc1  15739  trirecip  15839  geoisum1c  15856  binomcxplemnotnn0  43830  isumneg  45025
  Copyright terms: Public domain W3C validator