MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isummulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isummulc2 15607
Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumcl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumcl.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumcl.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
isummulc2 (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isummulc2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumcl.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 eqidd 2739 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
4 summulc.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 isumcl.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
75, 6mulcld 11134 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
87fmpttd 7060 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)):𝑍⟶ℂ)
98ffvelcdmda 7032 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) ∈ ℂ)
10 isumcl.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
11 isumcl.5 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
121, 2, 10, 6, 11isumclim2 15603 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
1310, 6eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413ralrimiva 3142 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
15 fveq2 6840 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
1615eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
1716rspccva 3579 . . . . 5 ((∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
1814, 17sylan 581 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
19 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
20 ovex 7385 . . . . . . . 8 (𝐵 · 𝐴) ∈ V
21 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))
2221fvmpt2 6957 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍 ∧ (𝐵 · 𝐴) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
2319, 20, 22sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
2410oveq2d 7368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 · (𝐹𝑘)) = (𝐵 · 𝐴))
2523, 24eqtr4d 2781 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)))
2625ralrimiva 3142 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)))
27 nffvmpt1 6851 . . . . . . 7 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚)
2827nfeq1 2921 . . . . . 6 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))
29 fveq2 6840 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
3015oveq2d 7368 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 · (𝐹𝑘)) = (𝐵 · (𝐹𝑚)))
3129, 30eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)) ↔ ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))))
3228, 31rspc 3568 . . . . 5 (𝑚𝑍 → (∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))))
3326, 32mpan9 508 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚)))
341, 2, 4, 12, 18, 33isermulc2 15502 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))) ⇝ (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴))
351, 2, 3, 9, 34isumclim 15602 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴))
36 sumfc 15554 . 2 Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴)
3735, 36eqtr3di 2793 1 (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  Vcvv 3444  cmpt 5187  dom cdm 5632  cfv 6494  (class class class)co 7352  cc 11008   + caddc 11013   · cmul 11015  cz 12458  cuz 12722  seqcseq 13861  cli 15326  Σcsu 15530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-sup 9337  df-oi 9405  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-rp 12871  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-seq 13862  df-exp 13923  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-sum 15531
This theorem is referenced by:  isummulc1  15608  trirecip  15708  geoisum1c  15725  binomcxplemnotnn0  42541  isumneg  43738
  Copyright terms: Public domain W3C validator