MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isummulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isummulc2 15652
Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumcl.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isumcl.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
isumcl.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
isumcl.5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
isummulc2 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐡 Β· 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem isummulc2
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumcl.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 isumcl.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š))
4 summulc.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
54adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 isumcl.4 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
75, 6mulcld 11180 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐡 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
87fmpttd 7064 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴)):π‘βŸΆβ„‚)
98ffvelcdmda 7036 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
10 isumcl.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
11 isumcl.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
121, 2, 10, 6, 11isumclim2 15648 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
1310, 6eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1413ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
15 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
1615eleq1d 2819 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚))
1716rspccva 3579 . . . . 5 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
1814, 17sylan 581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
19 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
20 ovex 7391 . . . . . . . 8 (𝐡 Β· 𝐴) ∈ V
21 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))
2221fvmpt2 6960 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (𝐡 Β· 𝐴) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· 𝐴))
2319, 20, 22sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· 𝐴))
2410oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝐡 Β· 𝐴))
2523, 24eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
2625ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
27 nffvmpt1 6854 . . . . . . 7 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š)
2827nfeq1 2919 . . . . . 6 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š))
29 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š))
3015oveq2d 7374 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š)))
3129, 30eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š))))
3228, 31rspc 3568 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š))))
3326, 32mpan9 508 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š)))
341, 2, 4, 12, 18, 33isermulc2 15548 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))) ⇝ (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴))
351, 2, 3, 9, 34isumclim 15647 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴))
36 sumfc 15599 . 2 Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐡 Β· 𝐴)
3735, 36eqtr3di 2788 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐡 Β· 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  seqcseq 13912   ⇝ cli 15372  Ξ£csu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  isummulc1  15653  trirecip  15753  geoisum1c  15770  binomcxplemnotnn0  42724  isumneg  43929
  Copyright terms: Public domain W3C validator