MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isummulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isummulc2 15714
Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumcl.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isumcl.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
isumcl.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
isumcl.5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
isummulc2 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐡 Β· 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem isummulc2
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumcl.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 isumcl.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 eqidd 2727 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š))
4 summulc.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
54adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 isumcl.4 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
75, 6mulcld 11238 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐡 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
87fmpttd 7110 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴)):π‘βŸΆβ„‚)
98ffvelcdmda 7080 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
10 isumcl.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
11 isumcl.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
121, 2, 10, 6, 11isumclim2 15710 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
1310, 6eqeltrd 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1413ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
15 fveq2 6885 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
1615eleq1d 2812 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚))
1716rspccva 3605 . . . . 5 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
1814, 17sylan 579 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
19 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
20 ovex 7438 . . . . . . . 8 (𝐡 Β· 𝐴) ∈ V
21 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))
2221fvmpt2 7003 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (𝐡 Β· 𝐴) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· 𝐴))
2319, 20, 22sylancl 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· 𝐴))
2410oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝐡 Β· 𝐴))
2523, 24eqtr4d 2769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
2625ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
27 nffvmpt1 6896 . . . . . . 7 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š)
2827nfeq1 2912 . . . . . 6 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š))
29 fveq2 6885 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š))
3015oveq2d 7421 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š)))
3129, 30eqeq12d 2742 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š))))
3228, 31rspc 3594 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘˜) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š))))
3326, 32mpan9 506 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š)))
341, 2, 4, 12, 18, 33isermulc2 15610 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))) ⇝ (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴))
351, 2, 3, 9, 34isumclim 15709 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴))
36 sumfc 15661 . 2 Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝐡 Β· 𝐴))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐡 Β· 𝐴)
3735, 36eqtr3di 2781 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐡 Β· 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  seqcseq 13972   ⇝ cli 15434  Ξ£csu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  isummulc1  15715  trirecip  15815  geoisum1c  15832  binomcxplemnotnn0  43691  isumneg  44890
  Copyright terms: Public domain W3C validator