Theorem isummulc2 14955

Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumcl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumcl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumcl.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
isummulc2	⊢ (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐵 · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isummulc2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumfc 14904	. 2 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐵 · 𝐴)
2		isumcl.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		isumcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eqidd 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
5		summulc.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		isumcl.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcld 10512	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
9	8	fmpttd 6747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)):𝑍⟶ℂ)
10	9	ffvelrnda 6721	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) ∈ ℂ)
11		isumcl.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
12		isumcl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
13	2, 3, 11, 7, 12	isumclim2 14951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
14	11, 7	eqeltrd 2883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	ralrimiva 3149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16		fveq2 6543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
17	16	eleq1d 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ))
18	17	rspccva 3558	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
19	15, 18	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
20		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
21		ovex 7053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 · 𝐴) ∈ V
22		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))
23	22	fvmpt2 6650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐵 · 𝐴) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
24	20, 21, 23	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
25	11	oveq2d 7037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐵 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐵 · 𝐴))
26	24, 25	eqtr4d 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹‘𝑘)))
27	26	ralrimiva 3149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹‘𝑘)))
28		nffvmpt1 6554	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚)
29	28	nfeq1 2962	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚))
30		fveq2 6543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
31	16	oveq2d 7037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚)))
32	30, 31	eqeq12d 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹‘𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚))))
33	29, 32	rspc 3553	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹‘𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚))))
34	27, 33	mpan9 507	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚)))
35	2, 3, 5, 13, 19, 34	isermulc2 14853	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))) ⇝ (𝐵 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴))
36	2, 3, 4, 10, 35	isumclim 14950	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴))
37	1, 36	syl5reqr 2846	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5045  dom cdm 5448  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  ℂcc 10386   + caddc 10391   · cmul 10393  ℤcz 11834  ℤ_≥cuz 12098  seqcseq 13224   ⇝ cli 14680  Σcsu 14881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-sum 14882

This theorem is referenced by:  isummulc1  14956  trirecip  15056  geoisum1c  15074  binomcxplemnotnn0  40252  isumneg  41451