Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isummulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isummulc2 15129
 Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumcl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumcl.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumcl.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
isummulc2 (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isummulc2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumfc 15078 . 2 Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴)
2 isumcl.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 isumcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 eqidd 2799 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
5 summulc.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
65adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 isumcl.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
86, 7mulcld 10668 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
98fmpttd 6866 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)):𝑍⟶ℂ)
109ffvelrnda 6838 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) ∈ ℂ)
11 isumcl.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
12 isumcl.5 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
132, 3, 11, 7, 12isumclim2 15125 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
1411, 7eqeltrd 2890 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
16 fveq2 6655 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
1716eleq1d 2874 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
1817rspccva 3571 . . . . 5 ((∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
1915, 18sylan 583 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
20 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
21 ovex 7178 . . . . . . . 8 (𝐵 · 𝐴) ∈ V
22 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))
2322fvmpt2 6766 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍 ∧ (𝐵 · 𝐴) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
2420, 21, 23sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
2511oveq2d 7161 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 · (𝐹𝑘)) = (𝐵 · 𝐴))
2624, 25eqtr4d 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)))
2726ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)))
28 nffvmpt1 6666 . . . . . . 7 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚)
2928nfeq1 2970 . . . . . 6 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))
30 fveq2 6655 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
3116oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 · (𝐹𝑘)) = (𝐵 · (𝐹𝑚)))
3230, 31eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)) ↔ ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))))
3329, 32rspc 3560 . . . . 5 (𝑚𝑍 → (∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))))
3427, 33mpan9 510 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚)))
352, 3, 5, 13, 19, 34isermulc2 15026 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))) ⇝ (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴))
362, 3, 4, 10, 35isumclim 15124 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴))
371, 36syl5reqr 2848 1 (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5114  dom cdm 5523  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542   + caddc 10547   · cmul 10549  ℤcz 11989  ℤ≥cuz 12251  seqcseq 13384   ⇝ cli 14853  Σcsu 15054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-sum 15055 This theorem is referenced by:  isummulc1  15130  trirecip  15230  geoisum1c  15248  binomcxplemnotnn0  41231  isumneg  42412
 Copyright terms: Public domain W3C validator