Theorem isummulc2 15697

Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumcl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumcl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumcl.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
isummulc2	⊢ (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐵 · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isummulc2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumcl.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
4		summulc.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		isumcl.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcld 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
8	7	fmpttd 7069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)):𝑍⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 7038	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) ∈ ℂ)
10		isumcl.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
11		isumcl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12	1, 2, 10, 6, 11	isumclim2 15693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
13	10, 6	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
16	15	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ))
17	16	rspccva 3577	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
18	14, 17	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20		ovex 7401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 · 𝐴) ∈ V
21		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))
22	21	fvmpt2 6961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐵 · 𝐴) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
23	19, 20, 22	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
24	10	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐵 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐵 · 𝐴))
25	23, 24	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹‘𝑘)))
26	25	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹‘𝑘)))
27		nffvmpt1 6853	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚)
28	27	nfeq1 2915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚))
29		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
30	15	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚)))
31	29, 30	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹‘𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚))))
32	28, 31	rspc 3566	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹‘𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚))))
33	26, 32	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚)))
34	1, 2, 4, 12, 18, 33	isermulc2 15593	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))) ⇝ (𝐵 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴))
35	1, 2, 3, 9, 34	isumclim 15692	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴))
36		sumfc 15644	. 2 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐵 · 𝐴)
37	35, 36	eqtr3di 2787	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   + caddc 11041   · cmul 11043  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  seqcseq 13936   ⇝ cli 15419  Σcsu 15621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622

This theorem is referenced by:  isummulc1  15698  trirecip  15798  geoisum1c  15815  binomcxplemnotnn0  44706  isumneg  45956