Theorem swapf2f1o 49261

Description: The morphism part of the swap functor is a bijection between hom-sets. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1f1o.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1f1o.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapf1f1o.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapf2f1o.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑆)
swapf2f1o.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑇)
swapf2f1o.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapf2f1o.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapf2f1o.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
swapf2f1o.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
swapf2f1o	⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩):(⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩)–1-1-onto→(⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩))

Proof of Theorem swapf2f1o

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}) = (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓})
2	1	xpcomf1o 8983	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}):((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))–1-1-onto→((𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))
3		swapf1f1o.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
4		swapf2f1o.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
5		swapf2f1o.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
6		swapf2f1o.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
7		swapf2f1o.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))
8		swapf1f1o.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
9		swapf2f1o.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑆)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝑆))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	swapf2val 49258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩) = (𝑓 ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
12		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
16	8, 12, 13, 14, 15, 4, 5, 6, 7, 9	xpchom2 18092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩) = ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)))
17	16	mpteq1d 5182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩) ↦ ∪ ◡{𝑓}) = (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
18	11, 17	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩) = (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
19		swapf1f1o.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
20		swapf2f1o.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑇)
21	19, 13, 12, 15, 14, 5, 4, 7, 6, 20	xpchom2 18092	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩) = ((𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍)))
22	18, 16, 21	f1oeq123d 6758	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩):(⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩)–1-1-onto→(⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}):((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))–1-1-onto→((𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))))
23	2, 22	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩):(⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩)–1-1-onto→(⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4577  ⟨cop 4583  ∪ cuni 4858   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  Hom chom 17172   ×_c cxpc 18074   swap_F cswapf 49244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-xpc 18078  df-swapf 49245

This theorem is referenced by:  swapf2f1oa  49262