Theorem swapf2f1o 49281

Description: The morphism part of the swap functor is a bijection between hom-sets. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1f1o.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1f1o.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapf1f1o.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapf2f1o.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑆)
swapf2f1o.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑇)
swapf2f1o.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapf2f1o.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapf2f1o.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
swapf2f1o.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
swapf2f1o	⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩):(⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩)–1-1-onto→(⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩))

Proof of Theorem swapf2f1o

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}) = (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓})
2	1	xpcomf1o 8990	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}):((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))–1-1-onto→((𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))
3		swapf1f1o.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
4		swapf2f1o.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
5		swapf2f1o.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
6		swapf2f1o.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
7		swapf2f1o.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))
8		swapf1f1o.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
9		swapf2f1o.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑆)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝑆))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	swapf2val 49278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩) = (𝑓 ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
12		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
16	8, 12, 13, 14, 15, 4, 5, 6, 7, 9	xpchom2 18111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩) = ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)))
17	16	mpteq1d 5185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩) ↦ ∪ ◡{𝑓}) = (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
18	11, 17	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩) = (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
19		swapf1f1o.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
20		swapf2f1o.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑇)
21	19, 13, 12, 15, 14, 5, 4, 7, 6, 20	xpchom2 18111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩) = ((𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍)))
22	18, 16, 21	f1oeq123d 6762	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩):(⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩)–1-1-onto→(⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}):((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))–1-1-onto→((𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))))
23	2, 22	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩):(⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩)–1-1-onto→(⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4579  ⟨cop 4585  ∪ cuni 4861   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139  Hom chom 17191   ×_c cxpc 18093   swap_F cswapf 49264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-hom 17204  df-cco 17205  df-xpc 18097  df-swapf 49265

This theorem is referenced by:  swapf2f1oa  49282