Theorem swapf2f1o 50202

Description: The morphism part of the swap functor is a bijection between hom-sets. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1f1o.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1f1o.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapf1f1o.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapf2f1o.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑆)
swapf2f1o.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑇)
swapf2f1o.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapf2f1o.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapf2f1o.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
swapf2f1o.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
swapf2f1o	⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩):(⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩)–1-1-onto→(⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩))

Proof of Theorem swapf2f1o

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}) = (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓})
2	1	xpcomf1o 9064	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}):((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))–1-1-onto→((𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))
3		swapf1f1o.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
4		swapf2f1o.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
5		swapf2f1o.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
6		swapf2f1o.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
7		swapf2f1o.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))
8		swapf1f1o.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
9		swapf2f1o.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑆)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝑆))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	swapf2val 50199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩) = (𝑓 ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
16	8, 12, 13, 14, 15, 4, 5, 6, 7, 9	xpchom2 18274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩) = ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)))
17	16	mpteq1d 5195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩) ↦ ∪ ◡{𝑓}) = (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
18	11, 17	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩) = (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
19		swapf1f1o.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
20		swapf2f1o.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑇)
21	19, 13, 12, 15, 14, 5, 4, 7, 6, 20	xpchom2 18274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩) = ((𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍)))
22	18, 16, 21	f1oeq123d 6811	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩):(⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩)–1-1-onto→(⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}):((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))–1-1-onto→((𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))))
23	2, 22	mpbiri 261	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩):(⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩)–1-1-onto→(⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ⟨cop 4590  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  Hom chom 17353   ×_c cxpc 18256   swap_F cswapf 50185

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-hom 17366  df-cco 17367  df-xpc 18260  df-swapf 50186

This theorem is used by:  swapf2f1oa  50203