Theorem swapf2f1o 50729

Description: The morphism part of the swap functor is a bijection between hom-sets. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1f1o.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1f1o.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapf1f1o.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapf2f1o.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑆)
swapf2f1o.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑇)
swapf2f1o.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapf2f1o.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapf2f1o.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
swapf2f1o.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
swapf2f1o	⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩):(⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩)⟶1-1onto(⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩))

Proof of Theorem swapf2f1o

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}) = (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓})
2	1	xpcomf1o 9123	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}):((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))⟶1-1onto((𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))
3		swapf1f1o.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
4		swapf2f1o.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
5		swapf2f1o.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
6		swapf2f1o.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
7		swapf2f1o.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐷))
8		swapf1f1o.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
9		swapf2f1o.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝑆)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝑆))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	swapf2val 50726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩) = (𝑓 ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
15		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
16	8, 12, 13, 14, 15, 4, 5, 6, 7, 9	xpchom2 18410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩) = ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)))
17	16	mpteq1d 5201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩) ↦ ∪ ◡{𝑓}) = (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
18	11, 17	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩) = (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}))
19		swapf1f1o.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
20		swapf2f1o.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝑇)
21	19, 13, 12, 15, 14, 5, 4, 7, 6, 20	xpchom2 18410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩) = ((𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍)))
22	18, 16, 21	f1oeq123d 6848	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩):(⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩)⟶1-1onto(⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊)) ↦ ∪ ◡{𝑓}):((𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍) × (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊))⟶1-1onto((𝑌(Hom ‘𝐷)𝑊) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑍))))
23	2, 22	mpbiri 261	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑍, 𝑊⟩):(⟨𝑋, 𝑌⟩𝐻⟨𝑍, 𝑊⟩)⟶1-1onto(⟨𝑌, 𝑋⟩𝐽⟨𝑊, 𝑍⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588  ⟨cop 4840  ∪ cuni 4872   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656  ^◡ccnv 5657  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  Hom chom 17483   ×_c cxpc 18392   swap_F cswapf 50712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-hom 17497  df-cco 17498  df-xpc 18396  df-swapf 50713

This theorem is used by:  swapf2f1oa  50730