Theorem swapf1f1o 49765

Description: The object part of the swap functor is a bijection between base sets. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1f1o.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1f1o.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapf1f1o.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapf1f1o.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
swapf1f1o.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
swapf1f1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
swapf1f1o.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
swapf1f1o	⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem swapf1f1o

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapf1f1o.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		swapf1f1o.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
3		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5	2, 3, 4	xpcbas 18135	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) = (Base‘𝑆)
6	1, 5	eqtr4i 2765	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))
7	6	mpteq1i 5163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ∪ ◡{𝑥}) = (𝑥 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) ↦ ∪ ◡{𝑥})
8	7	xpcomf1o 8994	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ∪ ◡{𝑥}):((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))–1-1-onto→((Base‘𝐷) × (Base‘𝐶))
9		swapf1f1o.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
10		swapf1f1o.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
11		swapf1f1o.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
12	9, 10, 2, 1, 11	swapf1val 49757	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ∪ ◡{𝑥}))
13	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)))
14		swapf1f1o.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑇)
15		swapf1f1o.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
16	15, 4, 3	xpcbas 18135	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐶)) = (Base‘𝑇)
17	14, 16	eqtr4i 2765	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐶))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐶)))
19	12, 13, 18	f1oeq123d 6761	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ∪ ◡{𝑥}):((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))–1-1-onto→((Base‘𝐷) × (Base‘𝐶))))
20	8, 19	mpbiri 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {csn 4555  ⟨cop 4561  ∪ cuni 4838   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  ^◡ccnv 5617  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170   ×_c cxpc 18125   swap_F cswapf 49749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-xpc 18129  df-swapf 49750

This theorem is referenced by:  swapf2f1oaALT  49768  swapfcoa  49771  swapffunc  49772  swapfiso  49775