Theorem swapf1f1o 49307

Description: The object part of the swap functor is a bijection between base sets. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1f1o.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1f1o.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapf1f1o.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapf1f1o.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
swapf1f1o.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
swapf1f1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
swapf1f1o.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
swapf1f1o	⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem swapf1f1o

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapf1f1o.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		swapf1f1o.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5	2, 3, 4	xpcbas 18079	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) = (Base‘𝑆)
6	1, 5	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))
7	6	mpteq1i 5177	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ∪ ◡{𝑥}) = (𝑥 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) ↦ ∪ ◡{𝑥})
8	7	xpcomf1o 8974	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ∪ ◡{𝑥}):((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))–1-1-onto→((Base‘𝐷) × (Base‘𝐶))
9		swapf1f1o.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
10		swapf1f1o.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
11		swapf1f1o.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
12	9, 10, 2, 1, 11	swapf1val 49299	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ∪ ◡{𝑥}))
13	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)))
14		swapf1f1o.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑇)
15		swapf1f1o.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
16	15, 4, 3	xpcbas 18079	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐶)) = (Base‘𝑇)
17	14, 16	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐶))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐶)))
19	12, 13, 18	f1oeq123d 6752	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ∪ ◡{𝑥}):((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))–1-1-onto→((Base‘𝐷) × (Base‘𝐶))))
20	8, 19	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4571  ⟨cop 4577  ∪ cuni 4854   ↦ cmpt 5167   × cxp 5609  ^◡ccnv 5610  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115   ×_c cxpc 18069   swap_F cswapf 49291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-xpc 18073  df-swapf 49292

This theorem is referenced by:  swapf2f1oaALT  49310  swapfcoa  49313  swapffunc  49314  swapfiso  49317