Theorem symgfvne 19610

Description: The function values of a permutation for different arguments are different. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgbas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgfvne	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑍 → (𝑌 ≠ 𝑋 → (𝐹‘𝑌) ≠ 𝑍)))

Proof of Theorem symgfvne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symgbas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	symgbasf1o 19604	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
4		f1of1 6834	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐴)
5		eqeq2 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐹‘𝑌) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = (𝐹‘𝑋)))
6	5	eqcoms 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑋) = 𝑍 → ((𝐹‘𝑌) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = (𝐹‘𝑋)))
7	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑋) = 𝑍) → ((𝐹‘𝑌) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = (𝐹‘𝑋)))
8		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐴)
9		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
10		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
11		f1veqaeq 7270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐴 ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑌) = (𝐹‘𝑋) → 𝑌 = 𝑋))
12	8, 9, 10, 11	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑌) = (𝐹‘𝑋) → 𝑌 = 𝑋))
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑋) = 𝑍) → ((𝐹‘𝑌) = (𝐹‘𝑋) → 𝑌 = 𝑋))
14	7, 13	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑋) = 𝑍) → ((𝐹‘𝑌) = 𝑍 → 𝑌 = 𝑋))
15	14	necon3d 2980	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑋) = 𝑍) → (𝑌 ≠ 𝑋 → (𝐹‘𝑌) ≠ 𝑍))
16	15	3exp1 1371	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐴 → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑍 → (𝑌 ≠ 𝑋 → (𝐹‘𝑌) ≠ 𝑍)))))
17	3, 4, 16	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑍 → (𝑌 ≠ 𝑋 → (𝐹‘𝑌) ≠ 𝑍)))))
18	17	3imp 1128	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑍 → (𝑌 ≠ 𝑋 → (𝐹‘𝑌) ≠ 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  –1-1→wf1 6544  –1-1-onto→wf1o 6546  ‘cfv 6547  Basecbs 17402  SymGrpcsymg 19598

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-tset 17462  df-efmnd 19080  df-symg 19599

This theorem is used by:  gsummatr01lem4  22988