Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfvne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfvne 18508
 Description: The function values of a permutation for different arguments are different. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgfvne ((𝐹𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑍 → (𝑌𝑋 → (𝐹𝑌) ≠ 𝑍)))

Proof of Theorem symgfvne
StepHypRef Expression
1 symgbas.1 . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symgbas.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2symgbasf1o 18502 . . 3 (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
4 f1of1 6613 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1𝐴)
5 eqeq2 2833 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝐹𝑋) → ((𝐹𝑌) = 𝑍 ↔ (𝐹𝑌) = (𝐹𝑋)))
65eqcoms 2829 . . . . . . 7 ((𝐹𝑋) = 𝑍 → ((𝐹𝑌) = 𝑍 ↔ (𝐹𝑌) = (𝐹𝑋)))
76adantl 484 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝐹𝑋) = 𝑍) → ((𝐹𝑌) = 𝑍 ↔ (𝐹𝑌) = (𝐹𝑋)))
8 simp1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐹:𝐴1-1𝐴)
9 simp3 1134 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌𝐴)
10 simp2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
11 f1veqaeq 7014 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1𝐴 ∧ (𝑌𝐴𝑋𝐴)) → ((𝐹𝑌) = (𝐹𝑋) → 𝑌 = 𝑋))
128, 9, 10, 11syl12anc 834 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐹𝑌) = (𝐹𝑋) → 𝑌 = 𝑋))
1312adantr 483 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝐹𝑋) = 𝑍) → ((𝐹𝑌) = (𝐹𝑋) → 𝑌 = 𝑋))
147, 13sylbid 242 . . . . 5 (((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝐹𝑋) = 𝑍) → ((𝐹𝑌) = 𝑍𝑌 = 𝑋))
1514necon3d 3037 . . . 4 (((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝐹𝑋) = 𝑍) → (𝑌𝑋 → (𝐹𝑌) ≠ 𝑍))
16153exp1 1348 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐴 → (𝑋𝐴 → (𝑌𝐴 → ((𝐹𝑋) = 𝑍 → (𝑌𝑋 → (𝐹𝑌) ≠ 𝑍)))))
173, 4, 163syl 18 . 2 (𝐹𝐵 → (𝑋𝐴 → (𝑌𝐴 → ((𝐹𝑋) = 𝑍 → (𝑌𝑋 → (𝐹𝑌) ≠ 𝑍)))))
18173imp 1107 1 ((𝐹𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑍 → (𝑌𝑋 → (𝐹𝑌) ≠ 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  –1-1→wf1 6351  –1-1-onto→wf1o 6353  ‘cfv 6354  Basecbs 16482  SymGrpcsymg 18494 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-tset 16583  df-efmnd 18033  df-symg 18495 This theorem is referenced by:  gsummatr01lem4  21266
 Copyright terms: Public domain W3C validator