MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfvne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfvne 18120
Description: The function values of a permutation for different arguments are different. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgfvne ((𝐹𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑍 → (𝑌𝑋 → (𝐹𝑌) ≠ 𝑍)))

Proof of Theorem symgfvne
StepHypRef Expression
1 symgbas.1 . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symgbas.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2symgbasf1o 18115 . . 3 (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
4 f1of1 6355 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1𝐴)
5 eqeq2 2810 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝐹𝑋) → ((𝐹𝑌) = 𝑍 ↔ (𝐹𝑌) = (𝐹𝑋)))
65eqcoms 2807 . . . . . . 7 ((𝐹𝑋) = 𝑍 → ((𝐹𝑌) = 𝑍 ↔ (𝐹𝑌) = (𝐹𝑋)))
76adantl 474 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝐹𝑋) = 𝑍) → ((𝐹𝑌) = 𝑍 ↔ (𝐹𝑌) = (𝐹𝑋)))
8 simp1 1167 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐹:𝐴1-1𝐴)
9 simp3 1169 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌𝐴)
10 simp2 1168 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
11 f1veqaeq 6742 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1𝐴 ∧ (𝑌𝐴𝑋𝐴)) → ((𝐹𝑌) = (𝐹𝑋) → 𝑌 = 𝑋))
128, 9, 10, 11syl12anc 866 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐹𝑌) = (𝐹𝑋) → 𝑌 = 𝑋))
1312adantr 473 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝐹𝑋) = 𝑍) → ((𝐹𝑌) = (𝐹𝑋) → 𝑌 = 𝑋))
147, 13sylbid 232 . . . . 5 (((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝐹𝑋) = 𝑍) → ((𝐹𝑌) = 𝑍𝑌 = 𝑋))
1514necon3d 2992 . . . 4 (((𝐹:𝐴1-1𝐴𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝐹𝑋) = 𝑍) → (𝑌𝑋 → (𝐹𝑌) ≠ 𝑍))
16153exp1 1462 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐴 → (𝑋𝐴 → (𝑌𝐴 → ((𝐹𝑋) = 𝑍 → (𝑌𝑋 → (𝐹𝑌) ≠ 𝑍)))))
173, 4, 163syl 18 . 2 (𝐹𝐵 → (𝑋𝐴 → (𝑌𝐴 → ((𝐹𝑋) = 𝑍 → (𝑌𝑋 → (𝐹𝑌) ≠ 𝑍)))))
18173imp 1138 1 ((𝐹𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑍 → (𝑌𝑋 → (𝐹𝑌) ≠ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  1-1wf1 6098  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  Basecbs 16184  SymGrpcsymg 18109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-tset 16286  df-symg 18110
This theorem is referenced by:  gsummatr01lem4  20791
  Copyright terms: Public domain W3C validator