Theorem gsummatr01lem4 22883

Description: Lemma 2 for gsummatr01 22884. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummatr01.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r	⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝑃 ∣ (𝑟‘𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummatr01.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsummatr01lem4	⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
2		eqeq1 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑛 = 𝐾))
3	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑛 = 𝐾))
4		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑛) = 𝐿))
5	4	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑛) = 𝐿))
6	5	ifbid 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
7		oveq12 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
8	3, 6, 7	ifbieq12d 4511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
9		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛 ≠ 𝐾)
10	9	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
11	10	iffalsed 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
12	11	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
13	8, 12	sylan9eqr 2817	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
14		eldifi 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛 ∈ 𝑁)
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ 𝑁)
16		gsummatr01.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
17		gsummatr01.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝑃 ∣ (𝑟‘𝐾) = 𝐿}
18	16, 17	gsummatr01lem1 22880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
19	14, 18	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
20		ovexd 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ V)
21	1, 13, 15, 19, 20	ovmpod 7566	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
22	21	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
23	22	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
24	23	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
25	24	imp 412	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
26		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)))
27	7	adantl 487	. . 3 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛))) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
28		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑁 ∖ {𝐿}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
29		simpr 490	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
30		fveq1 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑟‘𝐾) = (𝑄‘𝐾))
31	30	eqeq1d 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → ((𝑟‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
32	31, 17	elrab2 3649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
33		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑄 ∈ 𝑃)
34		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
35	34, 16	symgfv 19510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
36	33, 14, 35	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
37	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑄 ∈ 𝑃)
38		simplrr 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝐾 ∈ 𝑁)
39	14	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ 𝑁)
40	37, 38, 39	3jca 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁))
41		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝐾) = 𝐿)
42	9	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ≠ 𝐾)
43	34, 16	symgfvne 19511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ((𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (𝑛 ≠ 𝐾 → (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))
44	40, 41, 42, 43	syl3c 67	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)
45	36, 44	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿))
46	45	exp42 441	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) → (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))))
47	32, 46	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 → (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))))
48	47	3imp31 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))
49	48	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))
50	49	imp 412	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿))
51		eldifsn 4748	. . . 4 ⊢ ((𝑄‘𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↔ ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿))
52	50, 51	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
53		ovexd 7449	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ V)
54		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
55		nfra1 3286	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
56		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝑆
57	56	nfel2 2940	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝐵 ∈ 𝑆
58	55, 57	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)
59		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)
60	54, 58, 59	nf3an 1934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅))
61		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑁 ∖ {𝐾})
62	61	nfel2 2940	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
63	60, 62	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
64		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
65		nfra2w 3298	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
66		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝑆
67	66	nfel2 2940	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐵 ∈ 𝑆
68	65, 67	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)
69		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)
70	64, 68, 69	nf3an 1934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅))
71		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑁 ∖ {𝐾})
72	71	nfel2 2940	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
73	70, 72	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
74		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝑛
75		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑄‘𝑛)
76		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))
77		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))
78	26, 27, 28, 29, 52, 53, 63, 73, 74, 75, 76, 77	ovmpodxf 7564	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
79	25, 78	eqtr4d 2798	1 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄‘𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896  ifcif 4482  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Fincfn 8955  Basecbs 17304  0_gc0g 17527  SymGrpcsymg 19499  CMndccmn 19910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-tset 17364  df-efmnd 18981  df-symg 19500

This theorem is used by:  gsummatr01  22884