Theorem gsummatr01lem4 21263

Description: Lemma 2 for gsummatr01 21264. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummatr01.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r	⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝑃 ∣ (𝑟‘𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummatr01.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsummatr01lem4	⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
2		eqeq1 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑛 = 𝐾))
3	2	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑛 = 𝐾))
4		eqeq1 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑛) = 𝐿))
5	4	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑛) = 𝐿))
6	5	ifbid 4447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
7		oveq12 7144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
8	3, 6, 7	ifbieq12d 4452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
9		eldifsni 4683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛 ≠ 𝐾)
10	9	neneqd 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
11	10	iffalsed 4436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
12	11	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
13	8, 12	sylan9eqr 2855	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
14		eldifi 4054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛 ∈ 𝑁)
15	14	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ 𝑁)
16		gsummatr01.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
17		gsummatr01.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝑃 ∣ (𝑟‘𝐾) = 𝐿}
18	16, 17	gsummatr01lem1 21260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
19	14, 18	sylan2 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
20		ovexd 7170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ V)
21	1, 13, 15, 19, 20	ovmpod 7281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
22	21	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
23	22	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
24	23	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
25	24	imp 410	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
26		eqidd 2799	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)))
27	7	adantl 485	. . 3 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛))) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
28		eqidd 2799	. . 3 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑁 ∖ {𝐿}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
29		simpr 488	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
30		fveq1 6644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑟‘𝐾) = (𝑄‘𝐾))
31	30	eqeq1d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → ((𝑟‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
32	31, 17	elrab2 3631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
33		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑄 ∈ 𝑃)
34		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
35	34, 16	symgfv 18500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
36	33, 14, 35	syl2an 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
37	33	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑄 ∈ 𝑃)
38		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝐾 ∈ 𝑁)
39	14	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ 𝑁)
40	37, 38, 39	3jca 1125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁))
41		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝐾) = 𝐿)
42	9	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ≠ 𝐾)
43	34, 16	symgfvne 18501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ((𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (𝑛 ≠ 𝐾 → (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))
44	40, 41, 42, 43	syl3c 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)
45	36, 44	jca 515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿))
46	45	exp42 439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) → (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))))
47	32, 46	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 → (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))))
48	47	3imp31 1109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))
49	48	3ad2ant3 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))
50	49	imp 410	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿))
51		eldifsn 4680	. . . 4 ⊢ ((𝑄‘𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↔ ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿))
52	50, 51	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
53		ovexd 7170	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ V)
54		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
55		nfra1 3183	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
56		nfcv 2955	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝑆
57	56	nfel2 2973	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝐵 ∈ 𝑆
58	55, 57	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)
59		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)
60	54, 58, 59	nf3an 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅))
61		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑁 ∖ {𝐾})
62	61	nfel2 2973	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
63	60, 62	nfan 1900	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
64		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
65		nfra2w 3191	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
66		nfcv 2955	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝑆
67	66	nfel2 2973	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐵 ∈ 𝑆
68	65, 67	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)
69		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)
70	64, 68, 69	nf3an 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅))
71		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑁 ∖ {𝐾})
72	71	nfel2 2973	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
73	70, 72	nfan 1900	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
74		nfcv 2955	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝑛
75		nfcv 2955	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑄‘𝑛)
76		nfcv 2955	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))
77		nfcv 2955	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))
78	26, 27, 28, 29, 52, 53, 63, 73, 74, 75, 76, 77	ovmpodxf 7279	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
79	25, 78	eqtr4d 2836	1 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878  ifcif 4425  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  Fincfn 8492  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  SymGrpcsymg 18487  CMndccmn 18898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-tset 16576  df-efmnd 18026  df-symg 18488

This theorem is referenced by:  gsummatr01  21264