Theorem gsummatr01lem4 22867

Description: Lemma 2 for gsummatr01 22868. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummatr01.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r	⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝑃 ∣ (𝑟‘𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummatr01.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsummatr01lem4	⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
2		eqeq1 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑛 = 𝐾))
3	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑛 = 𝐾))
4		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑛) = 𝐿))
5	4	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑛) = 𝐿))
6	5	ifbid 4513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
7		oveq12 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
8	3, 6, 7	ifbieq12d 4518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
9		eldifsni 4760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛 ≠ 𝐾)
10	9	neneqd 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
11	10	iffalsed 4500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
12	11	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
13	8, 12	sylan9eqr 2822	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
14		eldifi 4085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛 ∈ 𝑁)
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ 𝑁)
16		gsummatr01.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
17		gsummatr01.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝑃 ∣ (𝑟‘𝐾) = 𝐿}
18	16, 17	gsummatr01lem1 22864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
19	14, 18	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
20		ovexd 7454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ V)
21	1, 13, 15, 19, 20	ovmpod 7571	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
22	21	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
23	22	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
24	23	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
25	24	imp 412	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
26		eqidd 2766	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)))
27	7	adantl 487	. . 3 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛))) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
28		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑁 ∖ {𝐿}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
29		simpr 490	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
30		fveq1 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑟‘𝐾) = (𝑄‘𝐾))
31	30	eqeq1d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → ((𝑟‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
32	31, 17	elrab2 3656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
33		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑄 ∈ 𝑃)
34		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
35	34, 16	symgfv 19496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
36	33, 14, 35	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
37	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑄 ∈ 𝑃)
38		simplrr 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝐾 ∈ 𝑁)
39	14	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ 𝑁)
40	37, 38, 39	3jca 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁))
41		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝐾) = 𝐿)
42	9	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ≠ 𝐾)
43	34, 16	symgfvne 19497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ((𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (𝑛 ≠ 𝐾 → (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))
44	40, 41, 42, 43	syl3c 67	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)
45	36, 44	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿))
46	45	exp42 441	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) → (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))))
47	32, 46	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 → (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))))
48	47	3imp31 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))
49	48	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))
50	49	imp 412	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿))
51		eldifsn 4755	. . . 4 ⊢ ((𝑄‘𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↔ ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿))
52	50, 51	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
53		ovexd 7454	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ V)
54		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
55		nfra1 3291	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
56		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝑆
57	56	nfel2 2945	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝐵 ∈ 𝑆
58	55, 57	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)
59		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)
60	54, 58, 59	nf3an 1934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅))
61		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑁 ∖ {𝐾})
62	61	nfel2 2945	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
63	60, 62	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
64		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
65		nfra2w 3303	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
66		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝑆
67	66	nfel2 2945	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐵 ∈ 𝑆
68	65, 67	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)
69		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)
70	64, 68, 69	nf3an 1934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅))
71		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑁 ∖ {𝐾})
72	71	nfel2 2945	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
73	70, 72	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
74		nfcv 2927	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝑛
75		nfcv 2927	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑄‘𝑛)
76		nfcv 2927	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))
77		nfcv 2927	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))
78	26, 27, 28, 29, 52, 53, 63, 73, 74, 75, 76, 77	ovmpodxf 7569	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
79	25, 78	eqtr4d 2803	1 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄‘𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903  ifcif 4489  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  Fincfn 8949  Basecbs 17293  0_gc0g 17516  SymGrpcsymg 19485  CMndccmn 19896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-tset 17353  df-efmnd 18967  df-symg 19486

This theorem is used by:  gsummatr01  22868