Theorem gsummatr01lem4 22601

Description: Lemma 2 for gsummatr01 22602. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummatr01.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r	⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝑃 ∣ (𝑟‘𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummatr01.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsummatr01lem4	⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
2		eqeq1 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑛 = 𝐾))
3	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑛 = 𝐾))
4		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑛) = 𝐿))
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑛) = 𝐿))
6	5	ifbid 4529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
7		oveq12 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
8	3, 6, 7	ifbieq12d 4534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
9		eldifsni 4771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛 ≠ 𝐾)
10	9	neneqd 2938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
11	10	iffalsed 4516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
12	11	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄‘𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
13	8, 12	sylan9eqr 2793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
14		eldifi 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛 ∈ 𝑁)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ 𝑁)
16		gsummatr01.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
17		gsummatr01.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝑃 ∣ (𝑟‘𝐾) = 𝐿}
18	16, 17	gsummatr01lem1 22598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
19	14, 18	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
20		ovexd 7445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ V)
21	1, 13, 15, 19, 20	ovmpod 7564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
22	21	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
23	22	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
24	23	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))))
25	24	imp 406	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
26		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)))
27	7	adantl 481	. . 3 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑛))) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
28		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑁 ∖ {𝐿}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
29		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
30		fveq1 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑟‘𝐾) = (𝑄‘𝐾))
31	30	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → ((𝑟‘𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
32	31, 17	elrab2 3679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿))
33		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑄 ∈ 𝑃)
34		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
35	34, 16	symgfv 19366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
36	33, 14, 35	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
37	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑄 ∈ 𝑃)
38		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝐾 ∈ 𝑁)
39	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ 𝑁)
40	37, 38, 39	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁))
41		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝐾) = 𝐿)
42	9	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ≠ 𝐾)
43	34, 16	symgfvne 19367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ((𝑄‘𝐾) = 𝐿 → (𝑛 ≠ 𝐾 → (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))
44	40, 41, 42, 43	syl3c 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)
45	36, 44	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿))
46	45	exp42 435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑄‘𝐾) = 𝐿) → (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))))
47	32, 46	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑅 → (𝐿 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))))
48	47	3imp31 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))
49	48	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿)))
50	49	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿))
51		eldifsn 4767	. . . 4 ⊢ ((𝑄‘𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↔ ((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑛) ≠ 𝐿))
52	50, 51	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄‘𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
53		ovexd 7445	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)) ∈ V)
54		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
55		nfra1 3270	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
56		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝑆
57	56	nfel2 2918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝐵 ∈ 𝑆
58	55, 57	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)
59		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)
60	54, 58, 59	nf3an 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅))
61		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑁 ∖ {𝐾})
62	61	nfel2 2918	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
63	60, 62	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
64		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
65		nfra2w 3284	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
66		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝑆
67	66	nfel2 2918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐵 ∈ 𝑆
68	65, 67	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)
69		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)
70	64, 68, 69	nf3an 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅))
71		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑁 ∖ {𝐾})
72	71	nfel2 2918	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
73	70, 72	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
74		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝑛
75		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑄‘𝑛)
76		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))
77		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑛𝐴(𝑄‘𝑛))
78	26, 27, 28, 29, 52, 53, 63, 73, 74, 75, 76, 77	ovmpodxf 7562	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄‘𝑛)))
79	25, 78	eqtr4d 2774	1 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3420  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928  ifcif 4505  {csn 4606  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Fincfn 8964  Basecbs 17233  0_gc0g 17458  SymGrpcsymg 19355  CMndccmn 19766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-tset 17295  df-efmnd 18852  df-symg 19356

This theorem is referenced by:  gsummatr01  22602