MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummatr01lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummatr01lem4 20741
Description: Lemma 2 for gsummatr01 20742. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0 0 = (0g𝐺)
gsummatr01.s 𝑆 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01lem4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01lem4
StepHypRef Expression
1 eqidd 2765 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
2 eqeq1 2768 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
32adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
4 eqeq1 2768 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑄𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
54adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
65ifbid 4264 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
7 oveq12 6850 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
83, 6, 7ifbieq12d 4269 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
9 eldifsni 4475 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝐾)
109neneqd 2941 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
1110iffalsed 4253 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
1211adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
138, 12sylan9eqr 2820 . . . . . . 7 (((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
14 eldifi 3893 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝑁)
1514adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
16 gsummatr01.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
17 gsummatr01.r . . . . . . . . 9 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
1816, 17gsummatr01lem1 20738 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
1914, 18sylan2 586 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
20 ovexd 6875 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
211, 13, 15, 19, 20ovmpt2d 6985 . . . . . 6 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
2221ex 401 . . . . 5 (𝑄𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
23223ad2ant3 1165 . . . 4 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
24233ad2ant3 1165 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
2524imp 395 . 2 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
26 eqidd 2765 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)))
277adantl 473 . . 3 (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
28 eqidd 2765 . . 3 (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑁 ∖ {𝐿}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
29 simpr 477 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
30 fveq1 6373 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑄 → (𝑟𝐾) = (𝑄𝐾))
3130eqeq1d 2766 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑄 → ((𝑟𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐿))
3231, 17elrab2 3522 . . . . . . . . 9 (𝑄𝑅 ↔ (𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿))
33 simpll 783 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) → 𝑄𝑃)
34 eqid 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
3534, 16symgfv 18071 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝑃𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
3633, 14, 35syl2an 589 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
3733adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑄𝑃)
38 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝐾𝑁)
3914adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
4037, 38, 393jca 1158 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑃𝐾𝑁𝑛𝑁))
41 simpllr 793 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝐾) = 𝐿)
429adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝐾)
4334, 16symgfvne 18072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝑃𝐾𝑁𝑛𝑁) → ((𝑄𝐾) = 𝐿 → (𝑛𝐾 → (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))
4440, 41, 42, 43syl3c 66 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)
4536, 44jca 507 . . . . . . . . . 10 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿))
4645exp42 426 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) → (𝐿𝑁 → (𝐾𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))))
4732, 46sylbi 208 . . . . . . . 8 (𝑄𝑅 → (𝐿𝑁 → (𝐾𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))))
4847com13 88 . . . . . . 7 (𝐾𝑁 → (𝐿𝑁 → (𝑄𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))))
49483imp 1137 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))
50493ad2ant3 1165 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))
5150imp 395 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿))
52 eldifsn 4471 . . . 4 ((𝑄𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↔ ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿))
5351, 52sylibr 225 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
54 ovexd 6875 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
55 nfv 2009 . . . . 5 𝑖(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
56 nfra1 3087 . . . . . 6 𝑖𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
57 nfcv 2906 . . . . . . 7 𝑖𝑆
5857nfel2 2923 . . . . . 6 𝑖 𝐵𝑆
5956, 58nfan 1998 . . . . 5 𝑖(∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆)
60 nfv 2009 . . . . 5 𝑖(𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)
6155, 59, 60nf3an 2000 . . . 4 𝑖((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅))
62 nfcv 2906 . . . . 5 𝑖(𝑁 ∖ {𝐾})
6362nfel2 2923 . . . 4 𝑖 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
6461, 63nfan 1998 . . 3 𝑖(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
65 nfv 2009 . . . . 5 𝑗(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
66 nfra2 3092 . . . . . 6 𝑗𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
67 nfcv 2906 . . . . . . 7 𝑗𝑆
6867nfel2 2923 . . . . . 6 𝑗 𝐵𝑆
6966, 68nfan 1998 . . . . 5 𝑗(∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆)
70 nfv 2009 . . . . 5 𝑗(𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)
7165, 69, 70nf3an 2000 . . . 4 𝑗((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅))
72 nfcv 2906 . . . . 5 𝑗(𝑁 ∖ {𝐾})
7372nfel2 2923 . . . 4 𝑗 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
7471, 73nfan 1998 . . 3 𝑗(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
75 nfcv 2906 . . 3 𝑗𝑛
76 nfcv 2906 . . 3 𝑖(𝑄𝑛)
77 nfcv 2906 . . 3 𝑖(𝑛𝐴(𝑄𝑛))
78 nfcv 2906 . . 3 𝑗(𝑛𝐴(𝑄𝑛))
7926, 27, 28, 29, 53, 54, 64, 74, 75, 76, 77, 78ovmpt2dxf 6983 . 2 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
8025, 79eqtr4d 2801 1 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  {crab 3058  Vcvv 3349  cdif 3728  ifcif 4242  {csn 4333  cfv 6067  (class class class)co 6841  cmpt2 6843  Fincfn 8159  Basecbs 16131  0gc0g 16367  SymGrpcsymg 18061  CMndccmn 18458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-fz 12533  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-plusg 16228  df-tset 16234  df-symg 18062
This theorem is referenced by:  gsummatr01  20742
  Copyright terms: Public domain W3C validator