MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummatr01lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummatr01lem4 21270
Description: Lemma 2 for gsummatr01 21271. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0 0 = (0g𝐺)
gsummatr01.s 𝑆 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01lem4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01lem4
StepHypRef Expression
1 eqidd 2825 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
2 eqeq1 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
32adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
4 eqeq1 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑄𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
54adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
65ifbid 4472 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
7 oveq12 7158 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
83, 6, 7ifbieq12d 4477 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
9 eldifsni 4707 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝐾)
109neneqd 3019 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
1110iffalsed 4461 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
1211adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
138, 12sylan9eqr 2881 . . . . . . 7 (((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
14 eldifi 4089 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝑁)
1514adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
16 gsummatr01.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
17 gsummatr01.r . . . . . . . . 9 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
1816, 17gsummatr01lem1 21267 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
1914, 18sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
20 ovexd 7184 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
211, 13, 15, 19, 20ovmpod 7295 . . . . . 6 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
2221ex 416 . . . . 5 (𝑄𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
23223ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
24233ad2ant3 1132 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
2524imp 410 . 2 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
26 eqidd 2825 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)))
277adantl 485 . . 3 (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
28 eqidd 2825 . . 3 (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑁 ∖ {𝐿}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
29 simpr 488 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
30 fveq1 6660 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑄 → (𝑟𝐾) = (𝑄𝐾))
3130eqeq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑄 → ((𝑟𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐿))
3231, 17elrab2 3669 . . . . . . . 8 (𝑄𝑅 ↔ (𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿))
33 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) → 𝑄𝑃)
34 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
3534, 16symgfv 18508 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑃𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
3633, 14, 35syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
3733adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑄𝑃)
38 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝐾𝑁)
3914adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
4037, 38, 393jca 1125 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑃𝐾𝑁𝑛𝑁))
41 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝐾) = 𝐿)
429adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝐾)
4334, 16symgfvne 18509 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑃𝐾𝑁𝑛𝑁) → ((𝑄𝐾) = 𝐿 → (𝑛𝐾 → (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))
4440, 41, 42, 43syl3c 66 . . . . . . . . . 10 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)
4536, 44jca 515 . . . . . . . . 9 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿))
4645exp42 439 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) → (𝐿𝑁 → (𝐾𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))))
4732, 46sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑄𝑅 → (𝐿𝑁 → (𝐾𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))))
48473imp31 1109 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))
49483ad2ant3 1132 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))
5049imp 410 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿))
51 eldifsn 4704 . . . 4 ((𝑄𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↔ ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿))
5250, 51sylibr 237 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
53 ovexd 7184 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
54 nfv 1916 . . . . 5 𝑖(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
55 nfra1 3213 . . . . . 6 𝑖𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
56 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑖𝑆
5756nfel2 3000 . . . . . 6 𝑖 𝐵𝑆
5855, 57nfan 1901 . . . . 5 𝑖(∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆)
59 nfv 1916 . . . . 5 𝑖(𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)
6054, 58, 59nf3an 1903 . . . 4 𝑖((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅))
61 nfcv 2982 . . . . 5 𝑖(𝑁 ∖ {𝐾})
6261nfel2 3000 . . . 4 𝑖 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
6360, 62nfan 1901 . . 3 𝑖(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
64 nfv 1916 . . . . 5 𝑗(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
65 nfra2w 3221 . . . . . 6 𝑗𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
66 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑗𝑆
6766nfel2 3000 . . . . . 6 𝑗 𝐵𝑆
6865, 67nfan 1901 . . . . 5 𝑗(∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆)
69 nfv 1916 . . . . 5 𝑗(𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)
7064, 68, 69nf3an 1903 . . . 4 𝑗((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅))
71 nfcv 2982 . . . . 5 𝑗(𝑁 ∖ {𝐾})
7271nfel2 3000 . . . 4 𝑗 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
7370, 72nfan 1901 . . 3 𝑗(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
74 nfcv 2982 . . 3 𝑗𝑛
75 nfcv 2982 . . 3 𝑖(𝑄𝑛)
76 nfcv 2982 . . 3 𝑖(𝑛𝐴(𝑄𝑛))
77 nfcv 2982 . . 3 𝑗(𝑛𝐴(𝑄𝑛))
7826, 27, 28, 29, 52, 53, 63, 73, 74, 75, 76, 77ovmpodxf 7293 . 2 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
7925, 78eqtr4d 2862 1 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  {crab 3137  Vcvv 3480  cdif 3916  ifcif 4450  {csn 4550  cfv 6343  (class class class)co 7149  cmpo 7151  Fincfn 8505  Basecbs 16483  0gc0g 16713  SymGrpcsymg 18495  CMndccmn 18906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-tset 16584  df-efmnd 18034  df-symg 18496
This theorem is referenced by:  gsummatr01  21271
  Copyright terms: Public domain W3C validator