MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummatr01lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummatr01lem4 22573
Description: Lemma 2 for gsummatr01 22574. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0 0 = (0g𝐺)
gsummatr01.s 𝑆 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01lem4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01lem4
StepHypRef Expression
1 eqidd 2729 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
2 eqeq1 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
32adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
4 eqeq1 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑄𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
54adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
65ifbid 4552 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
7 oveq12 7429 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
83, 6, 7ifbieq12d 4557 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
9 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝐾)
109neneqd 2942 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
1110iffalsed 4540 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
1211adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
138, 12sylan9eqr 2790 . . . . . . 7 (((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
14 eldifi 4125 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝑁)
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
16 gsummatr01.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
17 gsummatr01.r . . . . . . . . 9 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
1816, 17gsummatr01lem1 22570 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
1914, 18sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
20 ovexd 7455 . . . . . . 7 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
211, 13, 15, 19, 20ovmpod 7573 . . . . . 6 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
2221ex 412 . . . . 5 (𝑄𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
23223ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
24233ad2ant3 1133 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
2524imp 406 . 2 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
26 eqidd 2729 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗)))
277adantl 481 . . 3 (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
28 eqidd 2729 . . 3 (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑁 ∖ {𝐿}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
29 simpr 484 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
30 fveq1 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑄 → (𝑟𝐾) = (𝑄𝐾))
3130eqeq1d 2730 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑄 → ((𝑟𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐿))
3231, 17elrab2 3685 . . . . . . . 8 (𝑄𝑅 ↔ (𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿))
33 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) → 𝑄𝑃)
34 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
3534, 16symgfv 19334 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑃𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
3633, 14, 35syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
3733adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑄𝑃)
38 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝐾𝑁)
3914adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
4037, 38, 393jca 1126 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑃𝐾𝑁𝑛𝑁))
41 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝐾) = 𝐿)
429adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝐾)
4334, 16symgfvne 19335 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑃𝐾𝑁𝑛𝑁) → ((𝑄𝐾) = 𝐿 → (𝑛𝐾 → (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))
4440, 41, 42, 43syl3c 66 . . . . . . . . . 10 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)
4536, 44jca 511 . . . . . . . . 9 ((((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) ∧ (𝐿𝑁𝐾𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿))
4645exp42 435 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) → (𝐿𝑁 → (𝐾𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))))
4732, 46sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑄𝑅 → (𝐿𝑁 → (𝐾𝑁 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))))
48473imp31 1110 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))
49483ad2ant3 1133 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿)))
5049imp 406 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿))
51 eldifsn 4791 . . . 4 ((𝑄𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↔ ((𝑄𝑛) ∈ 𝑁 ∧ (𝑄𝑛) ≠ 𝐿))
5250, 51sylibr 233 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
53 ovexd 7455 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
54 nfv 1910 . . . . 5 𝑖(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
55 nfra1 3278 . . . . . 6 𝑖𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
56 nfcv 2899 . . . . . . 7 𝑖𝑆
5756nfel2 2918 . . . . . 6 𝑖 𝐵𝑆
5855, 57nfan 1895 . . . . 5 𝑖(∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆)
59 nfv 1910 . . . . 5 𝑖(𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)
6054, 58, 59nf3an 1897 . . . 4 𝑖((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅))
61 nfcv 2899 . . . . 5 𝑖(𝑁 ∖ {𝐾})
6261nfel2 2918 . . . 4 𝑖 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
6360, 62nfan 1895 . . 3 𝑖(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
64 nfv 1910 . . . . 5 𝑗(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin)
65 nfra2w 3293 . . . . . 6 𝑗𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆
66 nfcv 2899 . . . . . . 7 𝑗𝑆
6766nfel2 2918 . . . . . 6 𝑗 𝐵𝑆
6865, 67nfan 1895 . . . . 5 𝑗(∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆)
69 nfv 1910 . . . . 5 𝑗(𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)
7064, 68, 69nf3an 1897 . . . 4 𝑗((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅))
71 nfcv 2899 . . . . 5 𝑗(𝑁 ∖ {𝐾})
7271nfel2 2918 . . . 4 𝑗 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})
7370, 72nfan 1895 . . 3 𝑗(((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
74 nfcv 2899 . . 3 𝑗𝑛
75 nfcv 2899 . . 3 𝑖(𝑄𝑛)
76 nfcv 2899 . . 3 𝑖(𝑛𝐴(𝑄𝑛))
77 nfcv 2899 . . 3 𝑗(𝑛𝐴(𝑄𝑛))
7826, 27, 28, 29, 52, 53, 63, 73, 74, 75, 76, 77ovmpodxf 7571 . 2 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
7925, 78eqtr4d 2771 1 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  {crab 3429  Vcvv 3471  cdif 3944  ifcif 4529  {csn 4629  cfv 6548  (class class class)co 7420  cmpo 7422  Fincfn 8964  Basecbs 17180  0gc0g 17421  SymGrpcsymg 19321  CMndccmn 19735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-tset 17252  df-efmnd 18821  df-symg 19322
This theorem is referenced by:  gsummatr01  22574
  Copyright terms: Public domain W3C validator