Theorem upgreupthseg 29993

Description: The 𝑁-th edge in an eulerian path is the edge from 𝑃(𝑁) to 𝑃(𝑁 + 1). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
upgreupthseg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgreupthseg	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})

Proof of Theorem upgreupthseg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgreupthseg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	upgreupthi 29992	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))}))
4		2fveq3 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
5		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑁))
6		fvoveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
7	5, 6	preq12d 4741	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
8	4, 7	eqeq12d 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
9	8	rspccv 3604	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))} → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
10	9	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))}) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
11	3, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
12	11	3impia 1115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  {cpr 4626   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ⟶wf 6538  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  ...cfz 13502  ..^cfzo 13645  ♯chash 14307  Vtxcvtx 28783  iEdgciedg 28784  UPGraphcupgr 28867  EulerPathsceupth 29981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-hash 14308  df-word 14483  df-edg 28835  df-uhgr 28845  df-upgr 28869  df-wlks 29387  df-trls 29480  df-eupth 29982

This theorem is referenced by: (None)