Theorem upgreupthseg 27389

Description: The 𝑁-th edge in an eulerian path is the edge from 𝑃(𝑁) to 𝑃(𝑁 + 1). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
upgreupthseg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgreupthseg	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})

Proof of Theorem upgreupthseg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgreupthseg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	upgreupthi 27388	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))}))
4		fveq2 6332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
5	4	fveq2d 6336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
6		fveq2 6332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑁))
7		fvoveq1 6816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
8	6, 7	preq12d 4412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
9	5, 8	eqeq12d 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
10	9	rspcva 3458	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))}) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
11	10	expcom 398	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))} → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
12	11	3ad2ant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))}) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
13	3, 12	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
14	13	3impia 1109	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  {cpr 4318   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  ⟶wf 6027  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  UPGraphcupgr 26196  EulerPathsceupth 27377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-edg 26161  df-uhgr 26174  df-upgr 26198  df-wlks 26730  df-trls 26824  df-eupth 27378

This theorem is referenced by: (None)