MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgreupthseg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgreupthseg 27546
Description: The 𝑁-th edge in an eulerian path is the edge from 𝑃(𝑁) to 𝑃(𝑁 + 1). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
upgreupthseg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgreupthseg ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})

Proof of Theorem upgreupthseg
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgreupthseg.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2 eqid 2798 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
31, 2upgreupthi 27545 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑛)) = {(𝑃𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))}))
4 2fveq3 6415 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝐼‘(𝐹𝑛)) = (𝐼‘(𝐹𝑁)))
5 fveq2 6410 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑁))
6 fvoveq1 6900 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
75, 6preq12d 4464 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → {(𝑃𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))} = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
84, 7eqeq12d 2813 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐼‘(𝐹𝑛)) = {(𝑃𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
98rspcva 3494 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑛)) = {(𝑃𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))}) → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
109expcom 403 . . . 4 (∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑛)) = {(𝑃𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))} → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
11103ad2ant3 1166 . . 3 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑛)) = {(𝑃𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))}) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
123, 11syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
13123impia 1146 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3088  {cpr 4369   class class class wbr 4842  dom cdm 5311  wf 6096  1-1-ontowf1o 6099  cfv 6100  (class class class)co 6877  0cc0 10223  1c1 10224   + caddc 10226  ...cfz 12577  ..^cfzo 12717  chash 13367  Vtxcvtx 26224  iEdgciedg 26225  UPGraphcupgr 26308  EulerPathsceupth 27534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-ifp 1087  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-2o 7799  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-pm 8097  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-card 9050  df-cda 9277  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-2 11373  df-n0 11578  df-xnn0 11650  df-z 11664  df-uz 11928  df-fz 12578  df-fzo 12718  df-hash 13368  df-word 13532  df-edg 26276  df-uhgr 26286  df-upgr 26310  df-wlks 26842  df-trls 26938  df-eupth 27535
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator