Theorem upgreupthseg 30171

Description: The 𝑁-th edge in an eulerian path is the edge from 𝑃(𝑁) to 𝑃(𝑁 + 1). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
upgreupthseg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgreupthseg	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})

Proof of Theorem upgreupthseg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgreupthseg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	upgreupthi 30170	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))}))
4		2fveq3 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
5		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑁))
6		fvoveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
7	5, 6	preq12d 4695	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
8	4, 7	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
9	8	rspccv 3576	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))} → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
10	9	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑛)) = {(𝑃‘𝑛), (𝑃‘(𝑛 + 1))}) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
11	3, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
12	11	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {cpr 4581   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  ⟶wf 6482  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  ...cfz 13428  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Vtxcvtx 28959  iEdgciedg 28960  UPGraphcupgr 29043  EulerPathsceupth 30159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-edg 29011  df-uhgr 29021  df-upgr 29045  df-wlks 29563  df-trls 29654  df-eupth 30160

This theorem is referenced by: (None)