Theorem uvtxusgr 29094

Description: The set of all universal vertices of a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxnbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uvtxusgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uvtxusgr	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}){𝑘, 𝑛} ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑉   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem uvtxusgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxnbgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	uvtxval 29079	. 2 ⊢ (UnivVtx‘𝐺) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑛)}
3		uvtxusgr.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	3	nbusgreledg 29045	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑛) ↔ {𝑘, 𝑛} ∈ 𝐸))
5	4	ralbidv 3176	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑛) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}){𝑘, 𝑛} ∈ 𝐸))
6	5	rabbidv 3439	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑛)} = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}){𝑘, 𝑛} ∈ 𝐸})
7	2, 6	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}){𝑘, 𝑛} ∈ 𝐸})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  {crab 3431   ∖ cdif 3945  {csn 4628  {cpr 4630  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Vtxcvtx 28691  Edgcedg 28742  USGraphcusgr 28844   NeighbVtx cnbgr 29024  UnivVtxcuvtx 29077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-hash 14298  df-edg 28743  df-upgr 28777  df-umgr 28778  df-usgr 28846  df-nbgr 29025  df-uvtx 29078

This theorem is referenced by:  uvtxusgrel  29095