Theorem uvtxusgrel 29782

Description: A universal vertex, i.e. an element of the set of all universal vertices, of a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxnbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uvtxusgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uvtxusgrel	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}){𝑘, 𝑁} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem uvtxusgrel

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxnbgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uvtxusgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	uvtxusgr 29781	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑘, 𝑣} ∈ 𝐸})
4	3	eleq2d 2851	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑘, 𝑣} ∈ 𝐸}))
5		sneq 4601	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → {𝑣} = {𝑁})
6	5	difeq2d 4081	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
7		preq2 4702	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → {𝑘, 𝑣} = {𝑘, 𝑁})
8	7	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → ({𝑘, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑘, 𝑁} ∈ 𝐸))
9	6, 8	raleqbidv 3340	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑘, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}){𝑘, 𝑁} ∈ 𝐸))
10	9	elrab 3652	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑘, 𝑣} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}){𝑘, 𝑁} ∈ 𝐸))
11	4, 10	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}){𝑘, 𝑁} ∈ 𝐸)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418   ∖ cdif 3903  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6540  Vtxcvtx 29375  Edgcedg 29426  USGraphcusgr 29528  UnivVtxcuvtx 29764

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-hash 14380  df-edg 29427  df-upgr 29461  df-umgr 29462  df-usgr 29530  df-nbgr 29712  df-uvtx 29765

This theorem is used by: (None)