Theorem uvtxusgrel 28525

Description: A universal vertex, i.e. an element of the set of all universal vertices, of a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxnbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uvtxusgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uvtxusgrel	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}){𝑘, 𝑁} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem uvtxusgrel

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxnbgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uvtxusgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	uvtxusgr 28524	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑘, 𝑣} ∈ 𝐸})
4	3	eleq2d 2818	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑘, 𝑣} ∈ 𝐸}))
5		sneq 4632	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → {𝑣} = {𝑁})
6	5	difeq2d 4118	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
7		preq2 4731	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → {𝑘, 𝑣} = {𝑘, 𝑁})
8	7	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → ({𝑘, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑘, 𝑁} ∈ 𝐸))
9	6, 8	raleqbidv 3341	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑘, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}){𝑘, 𝑁} ∈ 𝐸))
10	9	elrab 3679	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑘, 𝑣} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}){𝑘, 𝑁} ∈ 𝐸))
11	4, 10	bitrdi 286	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}){𝑘, 𝑁} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  {crab 3431   ∖ cdif 3941  {csn 4622  {cpr 4624  ‘cfv 6532  Vtxcvtx 28121  Edgcedg 28172  USGraphcusgr 28274  UnivVtxcuvtx 28507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-hash 14273  df-edg 28173  df-upgr 28207  df-umgr 28208  df-usgr 28276  df-nbgr 28455  df-uvtx 28508

This theorem is referenced by: (None)