Theorem nbusgreledg 29436

Description: A class/vertex is a neighbor of another class/vertex in a simple graph iff the vertices are endpoints of an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Oct-2017.) (Revised by AV, 26-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nbusgreledg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbusgreledg	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem nbusgreledg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		nbusgreledg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbusgr 29432	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})
4	3	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5	2, 1	usgrpredgv 29280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
8	7	pm4.71rd 562	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
9		prcom 4677	. . . . 5 ⊢ {𝑁, 𝐾} = {𝐾, 𝑁}
10	9	eleq1i 2828	. . . 4 ⊢ ({𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
12		preq2 4679	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝐾, 𝑛} = {𝐾, 𝑁})
13	12	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
14	13	elrab 3635	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
16	8, 11, 15	3bitr4rd 312	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))
17	4, 16	bitrd 279	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  {cpr 4570  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Vtxcvtx 29079  Edgcedg 29130  USGraphcusgr 29232   NeighbVtx cnbgr 29415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-edg 29131  df-upgr 29165  df-umgr 29166  df-usgr 29234  df-nbgr 29416

This theorem is referenced by:  usgrnbcnvfv  29448  nbusgredgeu  29449  edgnbusgreu  29450  nbusgrf1o0  29452  nb3grprlem1  29463  uvtxusgr  29485  iscusgredg  29506  clwwlknlbonbgr1  30124  frgrnbnb  30378  frgrncvvdeqlem2  30385  frgrncvvdeqlem3  30386  frgrncvvdeqlem6  30389  frgrncvvdeqlem9  30392  frgrwopreglem4a  30395  fusgr2wsp2nb  30419  numclwwlk1lem2foa  30439  usgrgrtrirex  48438  pgnbgreunbgr  48613  pgn4cyclex  48614