Theorem nbusgreledg 27308

Description: A class/vertex is a neighbor of another class/vertex in a simple graph iff the vertices are endpoints of an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Oct-2017.) (Revised by AV, 26-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nbusgreledg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbusgreledg	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem nbusgreledg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		nbusgreledg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbusgr 27304	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})
4	3	eleq2d 2819	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5	2, 1	usgrpredgv 27152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	simprd 499	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
7	6	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
8	7	pm4.71rd 566	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
9		prcom 4633	. . . . 5 ⊢ {𝑁, 𝐾} = {𝐾, 𝑁}
10	9	eleq1i 2824	. . . 4 ⊢ ({𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
12		preq2 4635	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝐾, 𝑛} = {𝐾, 𝑁})
13	12	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
14	13	elrab 3593	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
16	8, 11, 15	3bitr4rd 315	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))
17	4, 16	bitrd 282	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3058  {cpr 4528  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  Vtxcvtx 26954  Edgcedg 27005  USGraphcusgr 27107   NeighbVtx cnbgr 27287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-oadd 8148  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-dju 9416  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-n0 11990  df-xnn0 12062  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995  df-hash 13796  df-edg 27006  df-upgr 27040  df-umgr 27041  df-usgr 27109  df-nbgr 27288

This theorem is referenced by:  usgrnbcnvfv  27320  nbusgredgeu  27321  edgnbusgreu  27322  nbusgrf1o0  27324  nb3grprlem1  27335  uvtxusgr  27357  iscusgredg  27378  clwwlknlbonbgr1  27989  frgrnbnb  28243  frgrncvvdeqlem2  28250  frgrncvvdeqlem3  28251  frgrncvvdeqlem6  28254  frgrncvvdeqlem9  28257  frgrwopreglem4a  28260  fusgr2wsp2nb  28284  numclwwlk1lem2foa  28304