MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uz3m2nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uz3m2nn 12279
Description: An integer greater than or equal to 3 decreased by 2 is a positive integer, analogous to uz2m1nn 12311. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uz3m2nn (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem uz3m2nn
StepHypRef Expression
1 eluz2 12237 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
2 2lt3 11797 . . . . . 6 2 < 3
3 2re 11699 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
4 3re 11705 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
5 zre 11973 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 ltletr 10721 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((2 < 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁))
73, 4, 5, 6mp3an12i 1462 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 < 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁))
82, 7mpani 695 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
98imp 410 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
1093adant1 1127 . . 3 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
111, 10sylbi 220 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 < 𝑁)
12 2nn 11698 . . 3 2 ∈ ℕ
13 eluzge3nn 12278 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
14 nnsub 11669 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
1512, 13, 14sylancr 590 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (2 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
1611, 15mpbid 235 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cr 10525   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  cn 11625  2c2 11680  3c3 11681  cz 11969  cuz 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  27892  clwwnrepclwwn  28127  numclwwlk1lem2foa  28137  numclwwlk1lem2fo  28141  numclwlk1lem2  28153  numclwwlk2  28164  numclwwlk3  28168  fltnltalem  39549
  Copyright terms: Public domain W3C validator