Theorem numclwwlk1lem2foa 30345

Description: Going forth and back from the end of a (closed) walk: 𝑊 represents the closed walk p₀, ..., p_(n-2), p₀ = p_(n-2). With 𝑋 = p_(n-2) = p₀ and 𝑌 = p_(n-1), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) represents the closed walk p₀, ..., p_(n-2), p_(n-1), p_n = p₀ which is a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Revised by AV, 5-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2foa	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝑊   𝑤,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝑊(𝑣,𝑛)   𝑌(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2foa

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		extwwlkfab.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	nbgrisvtx 29330	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑉)
4	3	ad2antll 729	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
6		nbgrsym 29352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑌))
7		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
8	7	nbusgreledg 29342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑋 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑌) ↔ {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
9	8	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑋 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
10	6, 9	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
11	10	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
13	12	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺))
14		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑊 ∈ 𝐹)
15		extwwlkfab.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
16	14, 15	eleqtrdi 2843	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
17	2, 7	clwwlknonex2 30100	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
18	1, 4, 5, 13, 16, 17	syl311anc 1386	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
19	15	eleq2i 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐹 ↔ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
20		uz3m2nn 12802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
21	20	nnne0d 12185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
22	2, 7	clwwlknonel 30086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 2) ≠ 0 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
24	23	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
25	19, 24	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ 𝐹 ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
26		3simpa 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
28		simp32 1211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	28, 3	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
30		simpl33 1257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
31	27, 29, 30	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))
32	31	3exp1 1353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))))))
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))))))
34	33	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))))
35	34	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))))
36	35	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))))
37	25, 36	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ 𝐹 → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))))
38	37	imp32 418	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))
39		numclwwlk1lem2foalem 30342	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
40	38, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
41		eleq1a 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐹 → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹))
42	14, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹))
43		eleq1a 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
44	43	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
45		idd 24	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
46	42, 44, 45	3anim123d 1445	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → (((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
47	40, 46	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
48		extwwlkfab.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
49	2, 48, 15	extwwlkfabel 30344	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
50	49	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
51	18, 47, 50	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
52	51	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  {crab 3397  {cpr 4579  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∈ cmpo 7357  0cc0 11016  1c1 11017   + caddc 11019   − cmin 11354  2c2 12190  3c3 12191  ℤ_≥cuz 12742  ..^cfzo 13564  ♯chash 14247  Word cword 14430  lastSclsw 14479   ++ cconcat 14487  ⟨“cs1 14513   prefix cpfx 14588  Vtxcvtx 28985  Edgcedg 29036  USGraphcusgr 29138   NeighbVtx cnbgr 29321   ClWWalksN cclwwlkn 30015  ClWWalksNOncclwwlknon 30078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-dju 9804  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-xnn0 12465  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-hash 14248  df-word 14431  df-lsw 14480  df-concat 14488  df-s1 14514  df-substr 14559  df-pfx 14589  df-edg 29037  df-upgr 29071  df-umgr 29072  df-usgr 29140  df-nbgr 29322  df-wwlks 29819  df-wwlksn 29820  df-clwwlk 29973  df-clwwlkn 30016  df-clwwlknon 30079

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2fo  30349