Theorem numclwwlk1lem2foa 30716

Description: Going forth and back from the end of a (closed) walk: 𝑊 represents the closed walk p₀, ..., p_(n-2), p₀ = p_(n-2). With 𝑋 = p_(n-2) = p₀ and 𝑌 = p_(n-1), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) represents the closed walk p₀, ..., p_(n-2), p_(n-1), p_n = p₀ which is a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Revised by AV, 5-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2foa	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝑊   𝑤,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐹(𝑣, 𝑛)   𝑊(𝑣, 𝑛)   𝑌(𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2foa

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		extwwlkfab.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	nbgrisvtx 29702	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑉)
4	3	ad2antll 741	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		simpl3 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
6		nbgrsym 29724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑌))
7		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
8	7	nbusgreledg 29714	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑋 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑌) ↔ {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
9	8	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑋 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
10	6, 9	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
11	10	adantld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
12	11	3ad2ant1 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
13	12	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺))
14		simprl 782	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑊 ∈ 𝐹)
15		extwwlkfab.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
16	14, 15	eleqtrdi 2872	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
17	2, 7	clwwlknonex2 30471	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
18	1, 4, 5, 13, 16, 17	syl311anc 1410	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
19	15	eleq2i 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐹 ↔ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
20		uz3m2nn 12924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
21	20	nnne0d 12292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
22	2, 7	clwwlknonel 30457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 2) ≠ 0 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
24	23	3ad2ant3 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
25	19, 24	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ 𝐹 ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
26		3simpa 1165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
27	26	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
28		simp32 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	28, 3	anim12i 624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
30		simpl33 1274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
31	27, 29, 30	3jca 1145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))
32	31	3exp1 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))))))
33	32	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))))))
34	33	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))))
35	34	3adant3 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))))
36	35	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))))
37	25, 36	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ 𝐹 → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))))
38	37	imp32 423	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))
39		numclwwlk1lem2foalem 30713	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
40	38, 39	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
41		eleq1a 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐹 → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹))
42	14, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹))
43		eleq1a 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
44	43	ad2antll 741	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
45		idd 25	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
46	42, 44, 45	3anim123d 1470	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → (((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
47	40, 46	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
48		extwwlkfab.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
49	2, 48, 15	extwwlkfabel 30715	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
50	49	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
51	18, 47, 50	mpbir2and 725	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
52	51	ex 417	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  {crab 3415  {cpr 4590  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   − cmin 11447  2c2 12301  3c3 12302  ℤ_≥cuz 12868  ..^cfzo 13689  ♯chash 14373  Word cword 14557  lastSclsw 14606   ++ cconcat 14614  ⟨“cs1 14640   prefix cpfx 14715  Vtxcvtx 29357  Edgcedg 29408  USGraphcusgr 29510   NeighbVtx cnbgr 29693   ClWWalksN cclwwlkn 30386  ClWWalksNOncclwwlknon 30449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-lsw 14607  df-concat 14615  df-s1 14641  df-substr 14686  df-pfx 14716  df-edg 29409  df-upgr 29443  df-umgr 29444  df-usgr 29512  df-nbgr 29694  df-wwlks 30190  df-wwlksn 30191  df-clwwlk 30344  df-clwwlkn 30387  df-clwwlknon 30450

This theorem is used by:  numclwwlk1lem2fo  30720