Theorem numclwwlk1lem2foa 30341

Description: Going forth and back from the end of a (closed) walk: 𝑊 represents the closed walk p₀, ..., p_(n-2), p₀ = p_(n-2). With 𝑋 = p_(n-2) = p₀ and 𝑌 = p_(n-1), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) represents the closed walk p₀, ..., p_(n-2), p_(n-1), p_n = p₀ which is a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Revised by AV, 5-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2foa	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝑊   𝑤,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝑊(𝑣,𝑛)   𝑌(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2foa

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		extwwlkfab.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	nbgrisvtx 29326	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑉)
4	3	ad2antll 729	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
6		nbgrsym 29348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑌))
7		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
8	7	nbusgreledg 29338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑋 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑌) ↔ {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
9	8	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑋 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
10	6, 9	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
11	10	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺)))
13	12	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺))
14		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑊 ∈ 𝐹)
15		extwwlkfab.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
16	14, 15	eleqtrdi 2841	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
17	2, 7	clwwlknonex2 30096	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
18	1, 4, 5, 13, 16, 17	syl311anc 1386	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
19	15	eleq2i 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐹 ↔ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
20		uz3m2nn 12798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
21	20	nnne0d 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
22	2, 7	clwwlknonel 30082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 2) ≠ 0 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
24	23	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
25	19, 24	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ 𝐹 ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
26		3simpa 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
28		simp32 1211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	28, 3	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
30		simpl33 1257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
31	27, 29, 30	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))
32	31	3exp1 1353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))))))
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))))))
34	33	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))))
35	34	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))))
36	35	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))))
37	25, 36	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ 𝐹 → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))))
38	37	imp32 418	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))
39		numclwwlk1lem2foalem 30338	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
40	38, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
41		eleq1a 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐹 → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹))
42	14, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹))
43		eleq1a 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
44	43	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
45		idd 24	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
46	42, 44, 45	3anim123d 1445	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → (((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
47	40, 46	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
48		extwwlkfab.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
49	2, 48, 15	extwwlkfabel 30340	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
50	49	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
51	18, 47, 50	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
52	51	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  {crab 3395  {cpr 4577  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  0cc0 11012  1c1 11013   + caddc 11015   − cmin 11350  2c2 12186  3c3 12187  ℤ_≥cuz 12738  ..^cfzo 13560  ♯chash 14243  Word cword 14426  lastSclsw 14475   ++ cconcat 14483  ⟨“cs1 14509   prefix cpfx 14584  Vtxcvtx 28981  Edgcedg 29032  USGraphcusgr 29134   NeighbVtx cnbgr 29317   ClWWalksN cclwwlkn 30011  ClWWalksNOncclwwlknon 30074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-hash 14244  df-word 14427  df-lsw 14476  df-concat 14484  df-s1 14510  df-substr 14555  df-pfx 14585  df-edg 29033  df-upgr 29067  df-umgr 29068  df-usgr 29136  df-nbgr 29318  df-wwlks 29815  df-wwlksn 29816  df-clwwlk 29969  df-clwwlkn 30012  df-clwwlknon 30075

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2fo  30345