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Theorem iserex 15547
Description: An infinite series converges, if and only if the series does with initial terms removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserex.2 (𝜑𝑁𝑍)
iserex.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
iserex (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iserex
StepHypRef Expression
1 seqeq1 13915 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
21eleq1d 2819 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
32bicomd 222 . . 3 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )))
5 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
6 iserex.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁𝑍)
7 clim2ser.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
86, 7eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
9 eluzelz 12778 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1110zcnd 12613 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
12 ax-1cn 11114 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
13 npcan 11415 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
1411, 12, 13sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
1514seqeq1d 13918 . . . . . . 7 (𝜑 → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) = seq𝑁( + , 𝐹))
165, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) = seq𝑁( + , 𝐹))
17 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
1817, 7eleqtrrdi 2845 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
19 iserex.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
205, 19sylan 581 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
21 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
22 climdm 15442 . . . . . . . 8 (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
2321, 22sylib 217 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
247, 18, 20, 23clim2ser 15545 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
2516, 24eqbrtrrd 5130 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
26 climrel 15380 . . . . . 6 Rel ⇝
2726releldmi 5904 . . . . 5 (seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
2825, 27syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
3029, 7eleqtrrdi 2845 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
3130adantr 482 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
32 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
3332, 19sylan 581 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3432, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) = seq𝑁( + , 𝐹))
35 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
36 climdm 15442 . . . . . . . 8 (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)))
3735, 36sylib 217 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)))
3834, 37eqbrtrd 5128 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)))
397, 31, 33, 38clim2ser2 15546 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
4026releldmi 5904 . . . . 5 (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4139, 40syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4228, 41impbida 800 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4342ex 414 . 2 (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )))
44 uzm1 12806 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
458, 44syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
464, 43, 45mpjaod 859 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059  cmin 11390  cz 12504  cuz 12768  seqcseq 13912  cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376
This theorem is referenced by:  isumsplit  15730  isumrpcl  15733  climcnds  15741  geolim2  15761  cvgrat  15773  mertenslem1  15774  mertenslem2  15775  mertens  15776  eftlcvg  15993  rpnnen2lem5  16105  prmreclem5  16797  prmreclem6  16798  dvradcnv  25796  abelthlem7  25813  log2tlbnd  26311  lgamgulmlem4  26397  cvgdvgrat  42681  binomcxplemnotnn0  42724
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