MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfzo 13417
Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfzo (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem hashfzo
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11891 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 11730 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
32subidd 10634 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴𝐴) = 0)
4 fzo0 12700 . . . . . 6 (𝐴..^𝐴) = ∅
54fveq2i 6378 . . . . 5 (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (♯‘∅)
6 hash0 13360 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
75, 6eqtri 2787 . . . 4 (♯‘(𝐴..^𝐴)) = 0
83, 7syl6reqr 2818 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴𝐴))
9 oveq2 6850 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^𝐴))
109fveq2d 6379 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴..^𝐴)))
11 oveq1 6849 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵𝐴) = (𝐴𝐴))
1210, 11eqeq12d 2780 . . 3 (𝐵 = 𝐴 → ((♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴) ↔ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴𝐴)))
138, 12syl5ibrcom 238 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴 → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴)))
14 eluzelz 11896 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
15 fzoval 12679 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
1716fveq2d 6379 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
1817adantr 472 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
19 hashfz 13415 . . . . 5 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1))
2014zcnd 11730 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21 1cnd 10288 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
2220, 21, 2sub32d 10678 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − 1) − 𝐴) = ((𝐵𝐴) − 1))
2322oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (((𝐵𝐴) − 1) + 1))
2420, 2subcld 10646 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
25 ax-1cn 10247 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
26 npcan 10544 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵𝐴) − 1) + 1) = (𝐵𝐴))
2724, 25, 26sylancl 580 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (((𝐵𝐴) − 1) + 1) = (𝐵𝐴))
2823, 27eqtrd 2799 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (𝐵𝐴))
2919, 28sylan9eqr 2821 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (𝐵𝐴))
3018, 29eqtrd 2799 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴))
3130ex 401 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴)))
32 uzm1 11918 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴 ∨ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴)))
3313, 31, 32mpjaod 886 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  c0 4079  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  cmin 10520  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322
This theorem is referenced by:  hashfzo0  13418  pntlemr  25582  circlemethhgt  31172
  Copyright terms: Public domain W3C validator