Theorem hashfzo 14574

Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzo	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem hashfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzo0 13818	. . . . . 6 ⊢ (𝐴..^𝐴) = ∅
2	1	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (♯‘∅)
3		hash0 14511	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
4	2, 3	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = 0
5		eluzel2 12970	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12804	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	subidd 11657	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
8	4, 7	eqtr4id 2814	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
9		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^𝐴))
10	9	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴..^𝐴)))
11		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
12	10, 11	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴 − 𝐴)))
13	8, 12	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
14		eluzelz 12975	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
15		fzoval 13794	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
17	16	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
19		hashfz 14572	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1))
20	14	zcnd 12804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		1cnd 11302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21, 6	sub32d 11701	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 1) − 𝐴) = ((𝐵 − 𝐴) − 1))
23	22	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1))
24	20, 6	subcld 11669	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
25		ax-1cn 11258	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		npcan 11566	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
27	24, 25, 26	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
28	23, 27	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
29	19, 28	sylan9eqr 2817	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (𝐵 − 𝐴))
30	18, 29	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
31	30	ex 418	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
32		uzm1 12999	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 ∨ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
33	13, 31, 32	mpjaod 874	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   − cmin 11541  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3914  df-pss 4034  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475

This theorem is used by:  hashfzo0  14575  pntlemr  27929  circlemethhgt  35272