Theorem clim2prod 15978

Description: The limit of an infinite product with an initial segment added. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2prod.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2prod.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2prod.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
clim2prod.4	⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
clim2prod	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem clim2prod

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
2		clim2prod.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssz 12909	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
4	2, 3	eqsstri 3977	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
5		clim2prod.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
6	4, 5	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12729	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8		clim2prod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
9	5, 2	eleqtrdi 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluzel2 12893	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		clim2prod.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	2, 11, 12	prodf 15977	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
14	13, 5	ffvelcdmd 7079	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15		seqex 14068	. . 3 ⊢ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V)
17		peano2uz 12951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18		uzss 12911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
19	9, 17, 18	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
20	19, 2	sseqtrrdi 3972	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝑍)
21	20	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
22	21, 12	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	1, 7, 22	prodf 15977	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
24	23	ffvelcdmda 7078	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
25		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
26		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
27	26	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
28	25, 27	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))))
29	28	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))))
30		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
31		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))
32	31	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)))
33	30, 32	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))))
34	33	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)))))
35		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
36		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
37	36	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
38	35, 37	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
39	38	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))))
40		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘))
41		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘))
42	41	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘)))
43	40, 42	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘))))
44	43	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘)))))
45	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
46		seqp1 14081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (𝐹‘(𝑁 + 1))))
47	45, 46	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (𝐹‘(𝑁 + 1))))
48		seq1 14079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
49	48	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
50	49	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (𝐹‘(𝑁 + 1))))
51	47, 50	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
52	51	expcom 419	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))))
53	19	sselda 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
54		seqp1 14081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
55	53, 54	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
56	55	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
57		oveq1 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
58	57	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
59	14	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
60	23	ffvelcdmda 7078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
61		peano2uz 12951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
62	61, 2	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
63	53, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
64	12	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
65		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
66	65	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
67	66	rspcv 3572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
68	64, 67	mpan9 516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
69	63, 68	syldan 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
70	59, 60, 69	mulassd 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
71	70	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
72		seqp1 14081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
73	72	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
74	73	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
75	74	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
76	71, 75	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
77	56, 58, 76	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
78	77	exp31 425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))))
79	78	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))))
80	79	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))))
81	29, 34, 39, 44, 52, 80	uzind4 12956	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘))))
82	81	impcom 413	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘)))
83	1, 7, 8, 14, 16, 24, 82	climmulc2 15725	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  seqcseq 14066   ⇝ cli 15572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fz 13563  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576

This theorem is used by:  ntrivcvg  15987