Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2prod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2prod 15233
 Description: The limit of an infinite product with an initial segment added. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2prod.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2prod.2 (𝜑𝑁𝑍)
clim2prod.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
clim2prod.4 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
clim2prod (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem clim2prod
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . 2 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
2 clim2prod.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 uzssz 12250 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
42, 3eqsstri 3985 . . . 4 𝑍 ⊆ ℤ
5 clim2prod.2 . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
64, 5sseldi 3949 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76peano2zd 12076 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8 clim2prod.4 . 2 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
95, 2eleqtrdi 2926 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
10 eluzel2 12234 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 clim2prod.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
132, 11, 12prodf 15232 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
1413, 5ffvelrnd 6833 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15 seqex 13364 . . 3 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V)
17 peano2uz 12287 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
18 uzss 12251 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ𝑀))
199, 17, 183syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ𝑀))
2019, 2sseqtrrdi 4002 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝑍)
2120sselda 3951 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
2221, 12syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
231, 7, 22prodf 15232 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹):(ℤ‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
2423ffvelrnda 6832 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
25 fveq2 6651 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
26 fveq2 6651 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
2726oveq2d 7154 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
2825, 27eqeq12d 2840 . . . . 5 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))))
2928imbi2d 344 . . . 4 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))))
30 fveq2 6651 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
31 fveq2 6651 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))
3231oveq2d 7154 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)))
3330, 32eqeq12d 2840 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))))
3433imbi2d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)))))
35 fveq2 6651 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
36 fveq2 6651 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
3736oveq2d 7154 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
3835, 37eqeq12d 2840 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
3938imbi2d 344 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))))
40 fveq2 6651 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘))
41 fveq2 6651 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘))
4241oveq2d 7154 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘)))
4340, 42eqeq12d 2840 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘))))
4443imbi2d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘)))))
459adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
46 seqp1 13377 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (𝐹‘(𝑁 + 1))))
4745, 46syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (𝐹‘(𝑁 + 1))))
48 seq1 13375 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
4948adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
5049oveq2d 7154 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (𝐹‘(𝑁 + 1))))
5147, 50eqtr4d 2862 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
5251expcom 417 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))))
5319sselda 3951 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
54 seqp1 13377 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5655adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
57 oveq1 7145 . . . . . . . . 9 ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5857adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5914adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
6023ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
61 peano2uz 12287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
6261, 2eleqtrrdi 2927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
6353, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
6412ralrimiva 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
65 fveq2 6651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
6665eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
6766rspcv 3603 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) ∈ 𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
6864, 67mpan9 510 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
6963, 68syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
7059, 60, 69mulassd 10649 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
7170adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
72 seqp1 13377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7372adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7473oveq2d 7154 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
7574adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
7671, 75eqtr4d 2862 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
7756, 58, 763eqtrd 2863 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
7877exp31 423 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))))
7978com12 32 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))))
8079a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))))
8129, 34, 39, 44, 52, 80uzind4 12292 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘))))
8281impcom 411 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘)))
831, 7, 8, 14, 16, 24, 82climmulc2 14982 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132  Vcvv 3479   ⊆ wss 3918   class class class wbr 5047  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  ℂcc 10520  1c1 10523   + caddc 10525   · cmul 10527  ℤcz 11967  ℤ≥cuz 12229  seqcseq 13362   ⇝ cli 14830 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-seq 13363  df-exp 13424  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834 This theorem is referenced by:  ntrivcvg  15242
 Copyright terms: Public domain W3C validator