MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2prod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2prod 14993
Description: The limit of an infinite product with an initial segment added. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2prod.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2prod.2 (𝜑𝑁𝑍)
clim2prod.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
clim2prod.4 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
clim2prod (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem clim2prod
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . 2 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
2 clim2prod.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 uzssz 11988 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
42, 3eqsstri 3860 . . . 4 𝑍 ⊆ ℤ
5 clim2prod.2 . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
64, 5sseldi 3825 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76peano2zd 11813 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8 clim2prod.4 . 2 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
95, 2syl6eleq 2916 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
10 eluzel2 11973 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 clim2prod.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
132, 11, 12prodf 14992 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
1413, 5ffvelrnd 6609 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15 seqex 13097 . . 3 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V)
17 peano2uz 12023 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
18 uzss 11989 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ𝑀))
199, 17, 183syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ𝑀))
2019, 2syl6sseqr 3877 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝑍)
2120sselda 3827 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
2221, 12syldan 585 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
231, 7, 22prodf 14992 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹):(ℤ‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
2423ffvelrnda 6608 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
25 fveq2 6433 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
26 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
2726oveq2d 6921 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
2825, 27eqeq12d 2840 . . . . 5 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))))
2928imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))))
30 fveq2 6433 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
31 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))
3231oveq2d 6921 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)))
3330, 32eqeq12d 2840 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))))
3433imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)))))
35 fveq2 6433 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
36 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
3736oveq2d 6921 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
3835, 37eqeq12d 2840 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
3938imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))))
40 fveq2 6433 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘))
41 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘))
4241oveq2d 6921 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘)))
4340, 42eqeq12d 2840 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥)) ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘))))
4443imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑥) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘)))))
459adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
46 seqp1 13110 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (𝐹‘(𝑁 + 1))))
4745, 46syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (𝐹‘(𝑁 + 1))))
48 seq1 13108 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
4948adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
5049oveq2d 6921 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (𝐹‘(𝑁 + 1))))
5147, 50eqtr4d 2864 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
5251expcom 404 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))))
5319sselda 3827 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
54 seqp1 13110 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5655adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
57 oveq1 6912 . . . . . . . . 9 ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5857adantl 475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5914adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
6023ffvelrnda 6608 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
61 peano2uz 12023 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
6261, 2syl6eleqr 2917 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
6353, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
6412ralrimiva 3175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
65 fveq2 6433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
6665eleq1d 2891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
6766rspcv 3522 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) ∈ 𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
6864, 67mpan9 502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
6963, 68syldan 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
7059, 60, 69mulassd 10380 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
7170adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
72 seqp1 13110 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7372adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7473oveq2d 6921 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
7574adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · ((seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
7671, 75eqtr4d 2864 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
7756, 58, 763eqtrd 2865 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
7877exp31 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))))
7978com12 32 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))))
8079a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑛))) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))))
8129, 34, 39, 44, 52, 80uzind4 12028 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘))))
8281impcom 398 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑘)))
831, 7, 8, 14, 16, 24, 82climmulc2 14744 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  Vcvv 3414  wss 3798   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257  cz 11704  cuz 11968  seqcseq 13095  cli 14592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596
This theorem is referenced by:  ntrivcvg  15002
  Copyright terms: Public domain W3C validator