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Theorem ulmcaulem 25769
Description: Lemma for ulmcau 25770 and ulmcau2 25771: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 15247. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmcau.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmcau.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
ulmcau.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmcaulem (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧,𝐹   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑗,π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑀,π‘˜,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,π‘š)   𝑉(π‘₯,𝑧,𝑗,π‘˜,π‘š)

Proof of Theorem ulmcaulem
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5114 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < 𝑀))
21ralbidv 3175 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < 𝑀))
32rexralbidv 3215 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < 𝑀))
43cbvralvw 3228 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < 𝑀)
5 rphalfcl 12949 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
6 breq2 5114 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ / 2) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < 𝑀 ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
76ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ / 2) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < 𝑀 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
87rexralbidv 3215 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘₯ / 2) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < 𝑀 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
98rspcv 3580 . . . . . . 7 ((π‘₯ / 2) ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
105, 9syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
1110adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
12 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
1312fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
1413fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))))
1514breq1d 5120 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
1615ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
1716cbvralvw 3228 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2))
1817biimpi 215 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2))
19 uzss 12793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—))
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—))
21 ssralv 4015 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„€β‰₯β€˜π‘˜) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
23 r19.26 3115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
24 ulmcau.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
27 ulmcau.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2827uztrn2 12789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2928adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3027uztrn2 12789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
3129, 30sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
3226, 31ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
33 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πΉβ€˜π‘š) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘š):π‘†βŸΆβ„‚)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘š):π‘†βŸΆβ„‚)
3534ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
3625ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
38 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
4039ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
4135, 40abssubd 15345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
4241breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
4342biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
44 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
4525, 28, 44syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
4645anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
4746adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
48 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
5049ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
51 rpre 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5251ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5352ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
54 abs3lem 15230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) ∈ β„‚) ∧ (((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5550, 35, 40, 53, 54syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5643, 55sylan2d 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5756ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5823, 57biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5958expdimp 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
6059an32s 651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
6160ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
6222, 61syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
6362impancom 453 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
6463an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
6564ralimdva 3165 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
6665ex 414 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯)))
6766com23 86 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯)))
6818, 67mpdi 45 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
6968reximdva 3166 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
7011, 69syld 47 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
7170ralrimdva 3152 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < 𝑀 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
724, 71biimtrid 241 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
73 eluzelz 12780 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
7473, 27eleq2s 2856 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ β„€)
75 uzid 12785 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
7776adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
78 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
79 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
8079fveq1d 6849 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))
8180fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
8281breq1d 5120 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
8382ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
8478, 83raleqbidv 3322 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
8584rspcv 3580 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
8677, 85syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
87 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
8887fveq1d 6849 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
8988oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
9089fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))))
9190breq1d 5120 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) < π‘₯))
9291ralbidv 3175 . . . . . . 7 (π‘š = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) < π‘₯))
9392cbvralvw 3228 . . . . . 6 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) < π‘₯)
9424ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
9594adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
9695, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
9796ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
9824, 28, 44syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
9998anassrs 469 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
10099, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
101100ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
10297, 101abssubd 15345 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))))
103102breq1d 5120 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
104103ralbidva 3173 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
105104ralbidva 3173 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
10693, 105bitrid 283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
10786, 106sylibd 238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
108107reximdva 3166 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
109108ralimdv 3167 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
11072, 109impbid 211 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„cr 11057   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128
This theorem is referenced by:  ulmcau  25770  ulmcau2  25771
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