MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmcaulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmcaulem 26452
Description: Lemma for ulmcau 26453 and ulmcau2 26454: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 15391. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmcau.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmcau.s (𝜑𝑆𝑉)
ulmcau.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmcaulem (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑗,𝑍,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem ulmcaulem
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤))
21ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤))
32rexralbidv 3221 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤))
43cbvralvw 3235 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤)
5 rphalfcl 13060 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥 / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
76ralbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑥 / 2) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
87rexralbidv 3221 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
98rspcv 3618 . . . . . . 7 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
105, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
12 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
1312fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
1413fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))))
1514breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
1615ralbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
1716cbvralvw 3235 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2))
1817biimpi 216 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2))
19 uzss 12899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
2019ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
21 ssralv 4064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
23 r19.26 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
24 ulmcau.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
2625ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
27 ulmcau.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑍 = (ℤ𝑀)
2827uztrn2 12895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2928adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3027uztrn2 12895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑘𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚𝑍)
3129, 30sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚𝑍)
3226, 31ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑚) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
33 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑚) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑚):𝑆⟶ℂ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑚):𝑆⟶ℂ)
3534ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑚)‘𝑧) ∈ ℂ)
3625ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
3736ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
38 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
4039ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ)
4135, 40abssubd 15489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
4241breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
4342biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
44 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
4525, 28, 44syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
4645anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
48 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
5049ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
51 rpre 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
5251ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
5352ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
54 abs3lem 15374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑧) ∈ ℂ) ∧ (((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5550, 35, 40, 53, 54syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5643, 55sylan2d 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5756ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (∀𝑧𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5823, 57biimtrrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5958expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6059an32s 652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6160ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6222, 61syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6362impancom 451 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6463an32s 652 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6564ralimdva 3165 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6665ex 412 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥)))
6766com23 86 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥)))
6818, 67mpdi 45 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6968reximdva 3166 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
7011, 69syld 47 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
7170ralrimdva 3152 . . 3 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
724, 71biimtrid 242 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
73 eluzelz 12886 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
7473, 27eleq2s 2857 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
75 uzid 12891 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
7776adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
78 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝑗))
79 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
8079fveq1d 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑗)‘𝑧))
8180fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
8281breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8382ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8478, 83raleqbidv 3344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8584rspcv 3618 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8677, 85syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
87 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
8887fveq1d 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
8988oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
9089fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))))
9190breq1d 5158 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥))
9291ralbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥))
9392cbvralvw 3235 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥)
9424ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
9695, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
9796ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ)
9824, 28, 44syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
9998anassrs 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
10099, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
101100ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
10297, 101abssubd 15489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))))
103102breq1d 5158 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
104103ralbidva 3174 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
105104ralbidva 3174 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
10693, 105bitrid 283 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
10786, 106sylibd 239 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
108107reximdva 3166 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
109108ralimdv 3167 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
11072, 109impbid 212 1 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cc 11151  cr 11152   < clt 11293  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  ulmcau  26453  ulmcau2  26454
  Copyright terms: Public domain W3C validator