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Theorem ulmcaulem 24974
Description: Lemma for ulmcau 24975 and ulmcau2 24976: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 14707. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmcau.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmcau.s (𝜑𝑆𝑉)
ulmcau.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmcaulem (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑗,𝑍,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem ulmcaulem
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤))
21ralbidv 3195 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤))
32rexralbidv 3299 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤))
43cbvralvw 3448 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤)
5 rphalfcl 12408 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6 breq2 5061 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥 / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
76ralbidv 3195 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑥 / 2) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
87rexralbidv 3299 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
98rspcv 3616 . . . . . . 7 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
105, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
1110adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
12 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
1312fveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
1413fvoveq1d 7170 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))))
1514breq1d 5067 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
1615ralbidv 3195 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
1716cbvralvw 3448 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2))
1817biimpi 218 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2))
19 uzss 12257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
2019ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
21 ssralv 4031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
23 r19.26 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
24 ulmcau.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
2524adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
2625ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
27 ulmcau.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑍 = (ℤ𝑀)
2827uztrn2 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2928adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3027uztrn2 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑘𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚𝑍)
3129, 30sylan 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚𝑍)
3226, 31ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑚) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
33 elmapi 8420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑚) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑚):𝑆⟶ℂ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑚):𝑆⟶ℂ)
3534ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑚)‘𝑧) ∈ ℂ)
3625ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
3736ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
38 elmapi 8420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
4039ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ)
4135, 40abssubd 14805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
4241breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
4342biimpd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
44 ffvelrn 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
4525, 28, 44syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
4645anassrs 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
4746adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
48 elmapi 8420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
5049ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
51 rpre 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
5251ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
5352ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
54 abs3lem 14690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑧) ∈ ℂ) ∧ (((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5550, 35, 40, 53, 54syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5643, 55sylan2d 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5756ralimdva 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (∀𝑧𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5823, 57syl5bir 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5958expdimp 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6059an32s 650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6160ralimdva 3175 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6222, 61syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6362impancom 454 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6463an32s 650 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6564ralimdva 3175 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6665ex 415 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥)))
6766com23 86 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥)))
6818, 67mpdi 45 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6968reximdva 3272 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
7011, 69syld 47 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
7170ralrimdva 3187 . . 3 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
724, 71syl5bi 244 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
73 eluzelz 12245 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
7473, 27eleq2s 2929 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
75 uzid 12250 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
7776adantl 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
78 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝑗))
79 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
8079fveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑗)‘𝑧))
8180fvoveq1d 7170 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
8281breq1d 5067 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8382ralbidv 3195 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8478, 83raleqbidv 3400 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8584rspcv 3616 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8677, 85syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
87 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
8887fveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
8988oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
9089fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))))
9190breq1d 5067 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥))
9291ralbidv 3195 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥))
9392cbvralvw 3448 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥)
9424ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
9594adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
9695, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
9796ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ)
9824, 28, 44syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
9998anassrs 470 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
10099, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
101100ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
10297, 101abssubd 14805 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))))
103102breq1d 5067 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
104103ralbidva 3194 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
105104ralbidva 3194 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
10693, 105syl5bb 285 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
10786, 106sylibd 241 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
108107reximdva 3272 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
109108ralimdv 3176 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
11072, 109impbid 214 1 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3136  wrex 3137  wss 3934   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  m cmap 8398  cc 10527  cr 10528   < clt 10667  cmin 10862   / cdiv 11289  2c2 11684  cz 11973  cuz 12235  +crp 12381  abscabs 14585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587
This theorem is referenced by:  ulmcau  24975  ulmcau2  24976
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