Theorem vdwnnlem2 17060

Description: Lemma for vdwnn 17062. The set of all "bad" 𝑘 for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwnn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3	⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝐴   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘, 𝑚)   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝑅(𝑘, 𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5	1	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		ax-1cn 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		npcan 11470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
8	5, 6, 7	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
9	8	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐴))
10	4, 9	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1)))
11		eluzp1m1 12892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
12	3, 10, 11	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
13	12	ad2antlr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
14		fzss2 13597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)) → (0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)))
15		ssralv 4006	. . . . . . . 8 ⊢ ((0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
16	13, 14, 15	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
17	16	reximdv 3180	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
18	17	reximdv 3180	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
19	18	con3d 153	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
20		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
21		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
22		eluznn 12946	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
23	20, 21, 22	syl2anr 608	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
24	19, 23	jctild 534	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
25	24	expimpd 458	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
26		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 − 1) = (𝐴 − 1))
27	26	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐴 − 1)))
28	27	raleqdv 3323	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
29	28	2rexbidv 3230	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
30	29	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
31		vdwnn.3	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
32	30, 31	elrab2 3654	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
33		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 − 1) = (𝐵 − 1))
34	33	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐵 − 1)))
35	34	raleqdv 3323	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
36	35	2rexbidv 3230	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
37	36	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
38	37, 31	elrab2 3654	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
39	25, 32, 38	3imtr4g 299	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11102  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   · cmul 11109   − cmin 11445  ℕcn 12237  ℤcz 12595  ℤ_≥cuz 12866  ...cfz 13539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540

This theorem is used by:  vdwnnlem3  17061