Theorem vdwnnlem2 16322

Description: Lemma for vdwnn 16324. The set of all "bad" 𝑘 for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwnn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3	⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝐴   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝑅(𝑘,𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5	1	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		npcan 10884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
8	5, 6, 7	sylancl 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
9	8	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐴))
10	4, 9	eleqtrrd 2893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1)))
11		eluzp1m1 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
12	3, 10, 11	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
13	12	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
14		fzss2 12942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)) → (0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)))
15		ssralv 3981	. . . . . . . 8 ⊢ ((0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
17	16	reximdv 3232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
18	17	reximdv 3232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
19	18	con3d 155	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
20		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
21		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
22		eluznn 12306	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
23	20, 21, 22	syl2anr 599	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
24	19, 23	jctild 529	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
25	24	expimpd 457	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
26		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 − 1) = (𝐴 − 1))
27	26	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐴 − 1)))
28	27	raleqdv 3364	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
29	28	2rexbidv 3259	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
30	29	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
31		vdwnn.3	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
32	30, 31	elrab2 3631	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
33		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 − 1) = (𝐵 − 1))
34	33	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐵 − 1)))
35	34	raleqdv 3364	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
36	35	2rexbidv 3259	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
37	36	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
38	37, 31	elrab2 3631	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
39	25, 32, 38	3imtr4g 299	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886

This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  16323