Theorem vdwnnlem2 16697

Description: Lemma for vdwnn 16699. The set of all "bad" 𝑘 for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwnn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3	⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝐴   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝑅(𝑘,𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5	1	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		npcan 11230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
9	8	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐴))
10	4, 9	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1)))
11		eluzp1m1 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
12	3, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
13	12	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
14		fzss2 13296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)) → (0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)))
15		ssralv 3987	. . . . . . . 8 ⊢ ((0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
17	16	reximdv 3202	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
18	17	reximdv 3202	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
19	18	con3d 152	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
20		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
21		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
22		eluznn 12658	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
23	20, 21, 22	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
24	19, 23	jctild 526	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
25	24	expimpd 454	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
26		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 − 1) = (𝐴 − 1))
27	26	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐴 − 1)))
28	27	raleqdv 3348	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
29	28	2rexbidv 3229	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
30	29	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
31		vdwnn.3	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
32	30, 31	elrab2 3627	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
33		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 − 1) = (𝐵 − 1))
34	33	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐵 − 1)))
35	34	raleqdv 3348	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
36	35	2rexbidv 3229	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
37	36	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
38	37, 31	elrab2 3627	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
39	25, 32, 38	3imtr4g 296	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  16698