MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwnnlem2 17030
Description: Lemma for vdwnn 17032. The set of all "bad" 𝑘 for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})}
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem2 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐴𝑆𝐵𝑆))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝐴   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝑅(𝑘,𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12881 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 peano2zm 12658 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
51zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
7 npcan 11515 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
85, 6, 7sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
98fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (ℤ‘((𝐴 − 1) + 1)) = (ℤ𝐴))
104, 9eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ‘((𝐴 − 1) + 1)))
11 eluzp1m1 12902 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘((𝐴 − 1) + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)))
123, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)))
1312ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)))
14 fzss2 13601 . . . . . . . 8 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)) → (0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)))
15 ssralv 4064 . . . . . . . 8 ((0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
1716reximdv 3168 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
1817reximdv 3168 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
1918con3d 152 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
20 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
21 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
22 eluznn 12958 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
2320, 21, 22syl2anr 597 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
2419, 23jctild 525 . . 3 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))))
2524expimpd 453 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))))
26 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 − 1) = (𝐴 − 1))
2726oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐴 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐴 − 1)))
2827raleqdv 3324 . . . . 5 (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
29282rexbidv 3220 . . . 4 (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
3029notbid 318 . . 3 (𝑘 = 𝐴 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
31 vdwnn.3 . . 3 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})}
3230, 31elrab2 3698 . 2 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
33 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 − 1) = (𝐵 − 1))
3433oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐵 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐵 − 1)))
3534raleqdv 3324 . . . . 5 (𝑘 = 𝐵 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
36352rexbidv 3220 . . . 4 (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
3736notbid 318 . . 3 (𝑘 = 𝐵 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
3837, 31elrab2 3698 . 2 (𝐵𝑆 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
3925, 32, 383imtr4g 296 1 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐴𝑆𝐵𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  {csn 4631  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  cn 12264  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  17031
  Copyright terms: Public domain W3C validator