MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwnnlem2 16934
Description: Lemma for vdwnn 16936. The set of all "bad" ๐‘˜ for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
vdwnn.2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘…)
vdwnn.3 ๐‘† = {๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})}
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem2 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†))
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘‘,๐‘˜,๐‘š,๐ด   ๐‘Ž,๐‘,๐‘‘,๐‘š   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘‘   ๐‘…,๐‘Ž,๐‘,๐‘‘   ๐ต,๐‘Ž,๐‘‘,๐‘˜,๐‘š   ๐น,๐‘Ž   ๐‘˜,๐‘,๐น,๐‘‘,๐‘š   ๐‘†,๐‘Ž,๐‘‘,๐‘˜,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜,๐‘š)   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘)   ๐‘…(๐‘˜,๐‘š)   ๐‘†(๐‘)

Proof of Theorem vdwnnlem2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12832 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 peano2zm 12610 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
4 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
51zcnd 12672 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 ax-1cn 11171 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
7 npcan 11474 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + 1) = ๐ด)
85, 6, 7sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + 1) = ๐ด)
98fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐ด โˆ’ 1) + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
104, 9eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐ด โˆ’ 1) + 1)))
11 eluzp1m1 12853 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐ด โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ 1)))
123, 10, 11syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ 1)))
1312ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ 1)))
14 fzss2 13546 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ 1)) โ†’ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โŠ† (0...(๐ต โˆ’ 1)))
15 ssralv 4051 . . . . . . . 8 ((0...(๐ด โˆ’ 1)) โŠ† (0...(๐ต โˆ’ 1)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
1716reximdv 3169 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
1817reximdv 3169 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
1918con3d 152 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
20 id 22 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
21 simpr 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
22 eluznn 12907 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2320, 21, 22syl2anr 596 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2419, 23jctild 525 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โˆง ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))))
2524expimpd 453 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โˆง ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))))
26 oveq1 7419 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) = (๐ด โˆ’ 1))
2726oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)) = (0...(๐ด โˆ’ 1)))
2827raleqdv 3324 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
29282rexbidv 3218 . . . 4 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
3029notbid 317 . . 3 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
31 vdwnn.3 . . 3 ๐‘† = {๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})}
3230, 31elrab2 3687 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โˆง ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
33 oveq1 7419 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) = (๐ต โˆ’ 1))
3433oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)) = (0...(๐ต โˆ’ 1)))
3534raleqdv 3324 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
36352rexbidv 3218 . . . 4 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
3736notbid 317 . . 3 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
3837, 31elrab2 3687 . 2 (๐ต โˆˆ ๐‘† โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โˆง ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
3925, 32, 383imtr4g 295 1 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069  {crab 3431   โŠ† wss 3949  {csn 4629  โ—กccnv 5676   โ€œ cima 5680  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  โ„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   โˆ’ cmin 11449  โ„•cn 12217  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  ...cfz 13489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490
This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  16935
  Copyright terms: Public domain W3C validator