MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwnnlem2 16868
Description: Lemma for vdwnn 16870. The set of all "bad" 𝑘 for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})}
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem2 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐴𝑆𝐵𝑆))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝐴   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝑅(𝑘,𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12768 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
51zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
7 npcan 11410 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
85, 6, 7sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
98fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (ℤ‘((𝐴 − 1) + 1)) = (ℤ𝐴))
104, 9eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ‘((𝐴 − 1) + 1)))
11 eluzp1m1 12789 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘((𝐴 − 1) + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)))
123, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)))
1312ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)))
14 fzss2 13481 . . . . . . . 8 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)) → (0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)))
15 ssralv 4010 . . . . . . . 8 ((0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
1716reximdv 3167 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
1817reximdv 3167 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
1918con3d 152 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
20 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
21 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
22 eluznn 12843 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
2320, 21, 22syl2anr 597 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
2419, 23jctild 526 . . 3 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))))
2524expimpd 454 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))))
26 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 − 1) = (𝐴 − 1))
2726oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐴 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐴 − 1)))
2827raleqdv 3313 . . . . 5 (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
29282rexbidv 3213 . . . 4 (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
3029notbid 317 . . 3 (𝑘 = 𝐴 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
31 vdwnn.3 . . 3 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})}
3230, 31elrab2 3648 . 2 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
33 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 − 1) = (𝐵 − 1))
3433oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐵 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐵 − 1)))
3534raleqdv 3313 . . . . 5 (𝑘 = 𝐵 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
36352rexbidv 3213 . . . 4 (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
3736notbid 317 . . 3 (𝑘 = 𝐵 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
3837, 31elrab2 3648 . 2 (𝐵𝑆 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
3925, 32, 383imtr4g 295 1 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐴𝑆𝐵𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  {csn 4586  ccnv 5632  cima 5636  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  cn 12153  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  16869
  Copyright terms: Public domain W3C validator