Theorem vdwnnlem2 16931

Description: Lemma for vdwnn 16933. The set of all "bad" 𝑘 for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwnn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3	⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝐴   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝑅(𝑘,𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5	1	zcnd 12669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		ax-1cn 11170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		npcan 11471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
9	8	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐴))
10	4, 9	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1)))
11		eluzp1m1 12850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘((𝐴 − 1) + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
12	3, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
13	12	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)))
14		fzss2 13543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 1)) → (0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)))
15		ssralv 4050	. . . . . . . 8 ⊢ ((0...(𝐴 − 1)) ⊆ (0...(𝐵 − 1)) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
17	16	reximdv 3170	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
18	17	reximdv 3170	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
19	18	con3d 152	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
20		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
21		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
22		eluznn 12904	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
23	20, 21, 22	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
24	19, 23	jctild 526	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
25	24	expimpd 454	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) → (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
26		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 − 1) = (𝐴 − 1))
27	26	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐴 − 1)))
28	27	raleqdv 3325	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
29	28	2rexbidv 3219	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
30	29	notbid 317	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
31		vdwnn.3	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
32	30, 31	elrab2 3686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐴 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
33		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 − 1) = (𝐵 − 1))
34	33	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐵 − 1)))
35	34	raleqdv 3325	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
36	35	2rexbidv 3219	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
37	36	notbid 317	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
38	37, 31	elrab2 3686	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐵 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
39	25, 32, 38	3imtr4g 295	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11446  ℕcn 12214  ℤcz 12560  ℤ_≥cuz 12824  ...cfz 13486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487

This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  16932