MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwnn 16931
Description: Van der Waerden's theorem, infinitary version. For any finite coloring ๐น of the positive integers, there is a color ๐‘ that contains arbitrarily long arithmetic progressions. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwnn ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘…) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘‘,๐‘˜,๐‘š,๐น   ๐‘…,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘˜,๐‘š,๐‘Ž,๐‘‘)

Proof of Theorem vdwnn
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘…) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
2 simplr 768 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘…) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘…)
3 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (๐‘š ยท ๐‘‘) = (๐‘ค ยท ๐‘‘))
43oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + (๐‘ค ยท ๐‘‘)))
54eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” (๐‘Ž + (๐‘ค ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
65cbvralvw 3235 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘ค ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}))
7 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘Ž + (๐‘ค ยท ๐‘‘)) = (๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘‘)))
87eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘Ž + (๐‘ค ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” (๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
98ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘ค ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
106, 9bitrid 283 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
11 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ค ยท ๐‘‘) = (๐‘ค ยท ๐‘ง))
1211oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘‘)) = (๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘ง)))
1312eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘‘ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” (๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘ง)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
1413ralbidv 3178 . . . . . . 7 (๐‘‘ = ๐‘ง โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘ง)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
1510, 14cbvrex2vw 3240 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘ง)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}))
16 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) = (๐‘ฅ โˆ’ 1))
1716oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ฅ โ†’ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)) = (0...(๐‘ฅ โˆ’ 1)))
1817raleqdv 3326 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘ง)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘ฅ โˆ’ 1))(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘ง)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
19182rexbidv 3220 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ฅ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘ง)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘ฅ โˆ’ 1))(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘ง)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
2015, 19bitrid 283 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ฅ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘ฅ โˆ’ 1))(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘ง)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
2120notbid 318 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘ฅ โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘ฅ โˆ’ 1))(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘ง)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
2221cbvrabv 3443 . . 3 {๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ค โˆˆ (0...(๐‘ฅ โˆ’ 1))(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ๐‘ง)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})}
23 simpr 486 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘…) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
24 sneq 4639 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ข โ†’ {๐‘} = {๐‘ข})
2524imaeq2d 6060 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ข โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) = (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}))
2625eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ข โ†’ ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
2726ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ข โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
28272rexbidv 3220 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ข โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
2928ralbidv 3178 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ข โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})))
3029cbvrexvw 3236 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}))
3123, 30sylnib 328 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘…) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}))
32 rabn0 4386 . . . . . . 7 ({๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}))
33 rexnal 3101 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” ยฌ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}))
3432, 33bitri 275 . . . . . 6 ({๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})} โ‰  โˆ… โ†” ยฌ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}))
3534ralbii 3094 . . . . 5 (โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘… {๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})} โ‰  โˆ… โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘… ยฌ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}))
36 ralnex 3073 . . . . 5 (โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘… ยฌ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}) โ†” ยฌ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}))
3735, 36bitri 275 . . . 4 (โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘… {๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})} โ‰  โˆ… โ†” ยฌ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข}))
3831, 37sylibr 233 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘…) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})) โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘… {๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ข})} โ‰  โˆ…)
391, 2, 22, 38vdwnnlem3 16930 . 2 ยฌ ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘…) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
40 iman 403 . 2 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘…) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})) โ†” ยฌ ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘…) โˆง ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
4139, 40mpbir 230 1 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘…) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  {crab 3433  โˆ…c0 4323  {csn 4629  โ—กccnv 5676   โ€œ cima 5680  โŸถwf 6540  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  ...cfz 13484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-hash 14291  df-vdwap 16901  df-vdwmc 16902  df-vdwpc 16903
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator