Theorem hashnbusgrvd 30115

Description: In a simple graph, the number of neighbors of a vertex is the degree of this vertex. This theorem does not hold for (simple) pseudographs, because a vertex connected with itself only by a loop has no neighbors, see uspgrloopnb0 30106, but degree 2, see uspgrloopvd2 30107. And it does not hold for multigraphs, because a vertex connected with only one other vertex by two edges has one neighbor, see umgr2v2enb1 30113, but also degree 2, see umgr2v2evd2 30114. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashnbusgrvd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
hashnbusgrvd	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))

Proof of Theorem hashnbusgrvd

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnbusgrvd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbedgusgr 29959	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
5	1, 2, 4	vtxdusgrfvedg 30078	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))
6	3, 5	eqtr4d 2798	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ♯chash 14478  Vtxcvtx 29580  Edgcedg 29631  USGraphcusgr 29736   NeighbVtx cnbgr 29919  VtxDegcvtxdg 30052

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-xadd 13246  df-fz 13644  df-hash 14479  df-edg 29632  df-uhgr 29642  df-ushgr 29643  df-upgr 29666  df-umgr 29667  df-uspgr 29737  df-usgr 29738  df-nbgr 29920  df-vtxdg 30053

This theorem is used by:  usgruvtxvdb  30116  vtxdusgradjvtx  30119  cusgrrusgr  30168  rusgrpropnb  30170  frgrncvvdeq  30916  fusgreghash2wspv  30942  gpgvtxdg3  49274