MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlklnwwlkln2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlklnwwlkln2lem 29902
Description: Lemma for wlklnwwlkln2 29903 and wlklnwwlklnupgr2 29905. Formerly part of proof for wlklnwwlkln2 29903. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlklnwwlkln2lem.1 (𝜑 → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
Assertion
Ref Expression
wlklnwwlkln2lem (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝜑,𝑓

Proof of Theorem wlklnwwlkln2lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21wwlknbp 29862 . . 3 (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
3 iswwlksn 29858 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
43adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
5 lencl 14571 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
65nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
76adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
8 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 1 ∈ ℂ)
9 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 ∈ ℂ)
117, 8, 10subadd2d 11639 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) = (♯‘𝑃)))
12 eqcom 2744 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) = (♯‘𝑃) ↔ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))
1311, 12bitr2di 288 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) = (𝑁 + 1) ↔ ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁))
1413biimpcd 249 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = (𝑁 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁))
1514adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁))
1615impcom 407 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁)
17 wlklnwwlkln2lem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
1817com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → (𝜑 → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝜑 → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
2120imp 406 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) ∧ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)
23 wlklenvm1 29640 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))
2422, 23jccir 521 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) ∧ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)))
2524ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))))
2625eximdv 1917 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → (∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))))
2721, 26mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)))
28 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1) ↔ (♯‘𝑓) = 𝑁))
2928anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
3029exbidv 1921 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
3127, 30imbitrid 244 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
3231expd 415 . . . . . . 7 (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → (((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
3316, 32mpcom 38 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
3433ex 412 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
354, 34sylbid 240 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
36353adant1 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
372, 36mpcom 38 . 2 (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
3837com12 32 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492  0cn0 12526  chash 14369  Word cword 14552  Vtxcvtx 29013  Walkscwlks 29614  WWalkscwwlks 29845   WWalksN cwwlksn 29846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-wlks 29617  df-wwlks 29850  df-wwlksn 29851
This theorem is referenced by:  wlklnwwlkln2  29903  wlklnwwlklnupgr2  29905
  Copyright terms: Public domain W3C validator