Theorem wlklnwwlkln2lem 29401

Description: Lemma for wlklnwwlkln2 29402 and wlklnwwlklnupgr2 29404. Formerly part of proof for wlklnwwlkln2 29402. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlklnwwlkln2lem.1	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))

Assertion

Ref	Expression
wlklnwwlkln2lem	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝜑,𝑓

Proof of Theorem wlklnwwlkln2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlknbp 29361	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
3		iswwlksn 29357	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
4	3	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
5		lencl 14489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
7	6	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
8		1cnd 11215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 1 ∈ ℂ)
9		nn0cn 12488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	subadd2d 11596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) = (♯‘𝑃)))
12		eqcom 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) = (♯‘𝑃) ↔ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))
13	11, 12	bitr2di 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) = (𝑁 + 1) ↔ ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁))
14	13	biimpcd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = (𝑁 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁))
15	14	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁))
16	15	impcom 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁)
17		wlklnwwlkln2lem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
18	17	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
19	18	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → (𝜑 → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
20	19	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝜑 → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
21	20	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)
22		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) ∧ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)
23		wlklenvm1 29144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))
24	22, 23	jccir 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) ∧ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)))
25	24	ex 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))))
26	25	eximdv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → (∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))))
27	21, 26	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)))
28		eqeq2 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1) ↔ (♯‘𝑓) = 𝑁))
29	28	anbi2d 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
30	29	exbidv 1922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
31	27, 30	imbitrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
32	31	expd 414	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
33	16, 32	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
34	33	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
35	4, 34	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
36	35	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
37	2, 36	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
38	37	com12 32	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  ℂcc 11112  1c1 11115   + caddc 11117   − cmin 11450  ℕ₀cn0 12478  ♯chash 14296  Word cword 14470  Vtxcvtx 28521  Walkscwlks 29118  WWalkscwwlks 29344   WWalksN cwwlksn 29345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471  df-wlks 29121  df-wwlks 29349  df-wwlksn 29350

This theorem is referenced by:  wlklnwwlkln2  29402  wlklnwwlklnupgr2  29404