Theorem wlklnwwlkln2lem 30350

Description: Lemma for wlklnwwlkln2 30351 and wlklnwwlklnupgr2 30353. Formerly part of proof for wlklnwwlkln2 30351. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlklnwwlkln2lem.1	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))

Assertion

Ref	Expression
wlklnwwlkln2lem	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝜑,𝑓

Proof of Theorem wlklnwwlkln2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlknbp 30310	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
3		iswwlksn 30306	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
5		lencl 14598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
8		1cnd 11226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 1 ∈ ℂ)
9		nn0cn 12538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	subadd2d 11612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) = (♯‘𝑃)))
12		eqcom 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) = (♯‘𝑃) ↔ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))
13	11, 12	bitr2di 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) = (𝑁 + 1) ↔ ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁))
14	13	biimpcd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = (𝑁 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁))
15	14	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁))
16	15	impcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁)
17		wlklnwwlkln2lem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
18	17	com12 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → (𝜑 → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
20	19	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝜑 → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
21	20	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)
22		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) ∧ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)
23		wlklenvm1 30081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))
24	22, 23	jccir 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) ∧ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)))
25	24	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))))
26	25	eximdv 1950	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → (∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))))
27	21, 26	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)))
28		eqeq2 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1) ↔ (♯‘𝑓) = 𝑁))
29	28	anbi2d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
30	29	exbidv 1954	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
31	27, 30	imbitrid 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
32	31	expd 421	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
33	16, 32	mpcom 39	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
34	33	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
35	4, 34	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
36	35	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
37	2, 36	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
38	37	com12 33	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  1c1 11125   + caddc 11127   − cmin 11465  ℕ₀cn0 12528  ♯chash 14394  Word cword 14578  Vtxcvtx 29453  Walkscwlks 30056  WWalkscwwlks 30293   WWalksN cwwlksn 30294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-wlks 30059  df-wwlks 30298  df-wwlksn 30299

This theorem is used by:  wlklnwwlkln2  30351  wlklnwwlklnupgr2  30353