MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlklnwwlkln2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlklnwwlkln2lem 27659
Description: Lemma for wlklnwwlkln2 27660 and wlklnwwlklnupgr2 27662. Formerly part of proof for wlklnwwlkln2 27660. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlklnwwlkln2lem.1 (𝜑 → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
Assertion
Ref Expression
wlklnwwlkln2lem (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝜑,𝑓

Proof of Theorem wlklnwwlkln2lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21wwlknbp 27619 . . 3 (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
3 iswwlksn 27615 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
43adantr 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
5 lencl 13882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
65nn0cnd 11956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
76adantl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
8 1cnd 10635 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 1 ∈ ℂ)
9 nn0cn 11906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
109adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 ∈ ℂ)
117, 8, 10subadd2d 11015 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) = (♯‘𝑃)))
12 eqcom 2828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) = (♯‘𝑃) ↔ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))
1311, 12syl6rbb 290 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) = (𝑁 + 1) ↔ ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁))
1413biimpcd 251 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = (𝑁 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁))
1514adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁))
1615impcom 410 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁)
17 wlklnwwlkln2lem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
1817com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
1918adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → (𝜑 → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
2019adantl 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝜑 → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
2120imp 409 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)
22 simpr 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) ∧ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)
23 wlklenvm1 27402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))
2422, 23jccir 524 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) ∧ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)))
2524ex 415 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))))
2625eximdv 1914 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → (∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))))
2721, 26mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)))
28 eqeq2 2833 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1) ↔ (♯‘𝑓) = 𝑁))
2928anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
3029exbidv 1918 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1)) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
3127, 30syl5ib 246 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝜑) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
3231expd 418 . . . . . . 7 (((♯‘𝑃) − 1) = 𝑁 → (((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
3316, 32mpcom 38 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
3433ex 415 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
354, 34sylbid 242 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
36353adant1 1126 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁))))
372, 36mpcom 38 . 2 (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝜑 → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
3837com12 32 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑓) = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wex 1776  wcel 2110  Vcvv 3494   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  1c1 10537   + caddc 10539  cmin 10869  0cn0 11896  chash 13689  Word cword 13860  Vtxcvtx 26780  Walkscwlks 27377  WWalkscwwlks 27602   WWalksN cwwlksn 27603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-hash 13690  df-word 13861  df-wlks 27380  df-wwlks 27607  df-wwlksn 27608
This theorem is referenced by:  wlklnwwlkln2  27660  wlklnwwlklnupgr2  27662
  Copyright terms: Public domain W3C validator