Theorem wwlknp 29780

Description: Properties of a set being a walk of length n (represented by a word). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 9-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlkbp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wwlknp.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlknp	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem wwlknp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlkbp.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlknbp 29779	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
3		iswwlksn 29775	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
4		wwlknp.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	1, 4	iswwlks 29773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
6		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))
8		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
9		nn0cn 12459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
10		pncan1 11609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
12	8, 11	sylan9eq 2785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
13	12	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^𝑁))
14	13	raleqdv 3301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
15	14	biimpcd 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
17	16	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
18	6, 7, 17	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
19	18	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
20	5, 19	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
21	20	expdimp 452	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
22	21	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
23	3, 22	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
24	23	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
25	2, 24	mpcom 38	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  Vcvv 3450  ∅c0 4299  {cpr 4594  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412  ℕ₀cn0 12449  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  WWalkscwwlks 29762   WWalksN cwwlksn 29763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-wwlks 29767  df-wwlksn 29768

This theorem is referenced by:  wwlknbp1  29781  wwlksnext  29830  wwlksnextbi  29831  wwlksnredwwlkn  29832  wwlksnredwwlkn0  29833  wwlksnextwrd  29834  wwlksnextsurj  29837  wwlksnextproplem2  29847  wwlksnextproplem3  29848  rusgrnumwwlks  29911  clwwlkinwwlk  29976  clwwlkf1  29985  wwlksext2clwwlk  29993  clwwlknonwwlknonb  30042  clwwlkvbij  30049  numclwwlk2lem1  30312