Theorem xlimpnfliminf 45027

Description: If a sequence of extended reals converges to +∞ then its superior limit is also +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfliminf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfliminf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfliminf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimpnfliminf.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*+∞)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfliminf	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = +∞)

Proof of Theorem xlimpnfliminf

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnfliminf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*+∞)
2		xlimpnfliminf.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		xlimpnfliminf.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		xlimpnfliminf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5	2, 3, 4	xlimpnfv 45005	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
6	1, 5	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
7		nfcv 2895	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
8	7, 2, 3, 4	liminfpnfuz 44983	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
9	6, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   class class class wbr 5138  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  ℝcr 11104  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  lim infclsi 44918  ~~>*clsxlim 44985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-xneg 13088  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fl 13753  df-ceil 13754  df-limsup 15411  df-topgen 17385  df-ordt 17443  df-ps 18518  df-tsr 18519  df-top 22706  df-topon 22723  df-bases 22759  df-lm 23043  df-liminf 44919  df-xlim 44986

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  45029