Theorem gausslemma2dlem0d 15810

Description: Auxiliary lemma 4 for gausslemma2d 15827. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0d	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
2		gausslemma2dlem0.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3	2	gausslemma2dlem0a 15807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5		4nn 9312	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
6		znq 9863	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
8		nnre 9155	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
9		nnnn0 9414	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
10	9	nn0ge0d 9463	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
11		4re 9225	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		4pos 9245	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
13	11, 12	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
14	13	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
15		divge0 9058	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (𝑃 / 4))
16	8, 10, 14, 15	syl21anc 1272	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑃 / 4))
17	3, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑃 / 4))
18		flqge0nn0 10559	. . 3 ⊢ (((𝑃 / 4) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ (𝑃 / 4)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
19	7, 17, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
20	1, 19	eqeltrid 2317	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ∖ cdif 3196  {csn 3670   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℝcr 8036  0cc0 8037   < clt 8219   ≤ cle 8220   / cdiv 8857  ℕcn 9148  2c2 9199  4c4 9201  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ℚcq 9858  ⌊cfl 10534  ℙcprime 12702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-1o 6587  df-2o 6588  df-er 6707  df-en 6915  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fl 10536  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-dvds 12372  df-prm 12703

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0h  15814  gausslemma2dlem2  15820  gausslemma2dlem3  15821  gausslemma2dlem4  15822  gausslemma2dlem6  15825