Theorem gausslemma2dlem0d 15739

Description: Auxiliary lemma 4 for gausslemma2d 15756. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0d	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
2		gausslemma2dlem0.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3	2	gausslemma2dlem0a 15736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5		4nn 9282	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
6		znq 9827	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
8		nnre 9125	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
9		nnnn0 9384	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
10	9	nn0ge0d 9433	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
11		4re 9195	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		4pos 9215	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
13	11, 12	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
14	13	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
15		divge0 9028	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (𝑃 / 4))
16	8, 10, 14, 15	syl21anc 1270	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑃 / 4))
17	3, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑃 / 4))
18		flqge0nn0 10521	. . 3 ⊢ (((𝑃 / 4) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ (𝑃 / 4)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
19	7, 17, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
20	1, 19	eqeltrid 2316	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∖ cdif 3194  {csn 3666   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℝcr 8006  0cc0 8007   < clt 8189   ≤ cle 8190   / cdiv 8827  ℕcn 9118  2c2 9169  4c4 9171  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  ℚcq 9822  ⌊cfl 10496  ℙcprime 12637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fl 10498  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-dvds 12307  df-prm 12638

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0h  15743  gausslemma2dlem2  15749  gausslemma2dlem3  15750  gausslemma2dlem4  15751  gausslemma2dlem6  15754