ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0d GIF version

Theorem gausslemma2dlem0d 15110
Description: Auxiliary lemma 4 for gausslemma2d 15127. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0d (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0d
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem0.m . 2 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
2 gausslemma2dlem0.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
32gausslemma2dlem0a 15107 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
43nnzd 9428 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
5 4nn 9135 . . . 4 4 ∈ ℕ
6 znq 9679 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
74, 5, 6sylancl 413 . . 3 (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
8 nnre 8979 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
9 nnnn0 9237 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
109nn0ge0d 9286 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
11 4re 9049 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
12 4pos 9069 . . . . . . 7 0 < 4
1311, 12pm3.2i 272 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
1413a1i 9 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
15 divge0 8882 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (𝑃 / 4))
168, 10, 14, 15syl21anc 1248 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑃 / 4))
173, 16syl 14 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑃 / 4))
18 flqge0nn0 10352 . . 3 (((𝑃 / 4) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ (𝑃 / 4)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
197, 17, 18syl2anc 411 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
201, 19eqeltrid 2280 1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2164  cdif 3150  {csn 3618   class class class wbr 4029  cfv 5246  (class class class)co 5910  cr 7861  0cc0 7862   < clt 8044  cle 8045   / cdiv 8681  cn 8972  2c2 9023  4c4 9025  0cn0 9230  cz 9307  cq 9674  cfl 10327  cprime 12232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980  ax-arch 7981  ax-caucvg 7982
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-2o 6461  df-er 6578  df-en 6786  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-q 9675  df-rp 9710  df-fl 10329  df-seqfrec 10509  df-exp 10597  df-cj 10973  df-re 10974  df-im 10975  df-rsqrt 11129  df-abs 11130  df-dvds 11918  df-prm 12233
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0h  15114  gausslemma2dlem2  15120  gausslemma2dlem3  15121  gausslemma2dlem4  15122  gausslemma2dlem6  15125
  Copyright terms: Public domain W3C validator