Theorem gausslemma2dlem0d 15168

Description: Auxiliary lemma 4 for gausslemma2d 15185. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0d	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
2		gausslemma2dlem0.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3	2	gausslemma2dlem0a 15165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5		4nn 9145	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
6		znq 9689	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
8		nnre 8989	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
9		nnnn0 9247	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
10	9	nn0ge0d 9296	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
11		4re 9059	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		4pos 9079	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
13	11, 12	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
14	13	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
15		divge0 8892	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (𝑃 / 4))
16	8, 10, 14, 15	syl21anc 1248	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑃 / 4))
17	3, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑃 / 4))
18		flqge0nn0 10362	. . 3 ⊢ (((𝑃 / 4) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ (𝑃 / 4)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
19	7, 17, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
20	1, 19	eqeltrid 2280	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3150  {csn 3618   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  0cc0 7872   < clt 8054   ≤ cle 8055   / cdiv 8691  ℕcn 8982  2c2 9033  4c4 9035  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℚcq 9684  ⌊cfl 10337  ℙcprime 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-prm 12246

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0h  15172  gausslemma2dlem2  15178  gausslemma2dlem3  15179  gausslemma2dlem4  15180  gausslemma2dlem6  15183