Theorem nn0sqdc 11168

Description: A nonnegative integer is a perfect square or not. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sqdc	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝑁 = (𝑞↑2))

Distinct variable group:   𝑁,𝑞

Proof of Theorem nn0sqdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9667	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
2		nn0z 9675	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzelz 10445	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ (0...𝑁) → 𝑞 ∈ ℤ)
4	3	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝑁)) → 𝑞 ∈ ℤ)
5		zsqcl 11068	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞↑2) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝑁)) → (𝑞↑2) ∈ ℤ)
7		zdceq 9731	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑞↑2) ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = (𝑞↑2))
8	2, 6, 7	syl2an2r 603	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝑁)) → DECID 𝑁 = (𝑞↑2))
9	1, 2, 8	exfzdc 10676	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID ∃𝑞 ∈ (0...𝑁)𝑁 = (𝑞↑2))
10		fz0ssnn0 10540	. . . . 5 ⊢ (0...𝑁) ⊆ ℕ0
11		rexss 3315	. . . . 5 ⊢ ((0...𝑁) ⊆ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ (0...𝑁)𝑁 = (𝑞↑2) ↔ ∃𝑞 ∈ ℕ0 (𝑞 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2))))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ (0...𝑁)𝑁 = (𝑞↑2) ↔ ∃𝑞 ∈ ℕ0 (𝑞 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)))
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) → 𝑁 = (𝑞↑2))
14	13	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) → ((𝑞 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) → 𝑁 = (𝑞↑2)))
15		idd 21	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑞↑2) → 𝑁 = (𝑞↑2)))
16		0zd 9667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) → 0 ∈ ℤ)
17	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		nn0z 9675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ0 → 𝑞 ∈ ℤ)
19	18	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) → 𝑞 ∈ ℤ)
20		nn0ge0 9599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑞)
21	20	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) → 0 ≤ 𝑞)
22		zzlesq 11167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ≤ (𝑞↑2))
23	19, 22	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) → 𝑞 ≤ (𝑞↑2))
24		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) → 𝑁 = (𝑞↑2))
25	23, 24	breqtrrd 4159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) → 𝑞 ≤ 𝑁)
26	16, 17, 19, 21, 25	elfzd 10436	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) → 𝑞 ∈ (0...𝑁))
27	26, 24	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) → (𝑞 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)))
28	27, 24	2thd 175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) → ((𝑞 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) ↔ 𝑁 = (𝑞↑2)))
29	28	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑞↑2) → ((𝑞 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) ↔ 𝑁 = (𝑞↑2))))
30	14, 15, 29	pm5.21ndd 717	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) → ((𝑞 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) ↔ 𝑁 = (𝑞↑2)))
31	30	rexbidva 2547	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℕ0 (𝑞 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑞↑2)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝑁 = (𝑞↑2)))
32	12, 31	bitrid 192	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ (0...𝑁)𝑁 = (𝑞↑2) ↔ ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝑁 = (𝑞↑2)))
33	32	dcbid 850	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (DECID ∃𝑞 ∈ (0...𝑁)𝑁 = (𝑞↑2) ↔ DECID ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝑁 = (𝑞↑2)))
34	9, 33	mpbid 147	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝑁 = (𝑞↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  0cc0 8185   ≤ cle 8367  2c2 9364  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ...cfz 10428  ↑cexp 10996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997

This theorem is used by:  nn0sqdcq  13013