Theorem modgcd 11946

Description: The gcd remains unchanged if one operand is replaced with its remainder modulo the other. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
modgcd	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))

Proof of Theorem modgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
2	1	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℚ)
3		nnq 9592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
4	3	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
5		nngt0 8903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
6	5	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
7		modqval 10280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1233	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
9		zcn 9217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
10	9	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
11		nncn 8886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		znq 9583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
14	13	flqcld 10233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
15	14	zcnd 9335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
16		mulneg1 8314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))
17		mulcom 7903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
18	17	negeqd 8114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → -((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
19	16, 18	eqtrd 2203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
20	19	ancoms 266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
21	20	3adant1 1010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
22	21	oveq2d 5869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
23		mulcl 7901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) ∈ ℂ)
24		negsub 8167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) ∈ ℂ) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
25	23, 24	sylan2 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
26	25	3impb 1194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
27	22, 26	eqtrd 2203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
28	10, 12, 15, 27	syl3anc 1233	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
29	8, 28	eqtr4d 2206	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)))
30	29	oveq2d 5869	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = (𝑁 gcd (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
31	14	znegcld 9336	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
32		nnz 9231	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
35		gcdaddm 11939	. . . 4 ⊢ ((-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑁 gcd (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
36	31, 33, 34, 35	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑁 gcd (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
37	30, 36	eqtr4d 2206	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = (𝑁 gcd 𝑀))
38		zmodcl 10300	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 9332	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℤ)
40		gcdcom 11928	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁))
41	33, 39, 40	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁))
42		gcdcom 11928	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
43	33, 34, 42	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
44	37, 41, 43	3eqtr3d 2211	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   − cmin 8090  -cneg 8091   / cdiv 8589  ℕcn 8878  ℤcz 9212  ℚcq 9578  ⌊cfl 10224   mod cmo 10278   gcd cgcd 11897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898

This theorem is referenced by:  eucalginv  12010  phimullem  12179  eulerthlem1  12181  eulerthlemth  12186  pockthlem  12308