Theorem 0dig2pr01 48344

Description: The integers 0 and 1 correspond to their last bit. (Contributed by AV, 28-May-2010.)

Assertion

Ref	Expression
0dig2pr01	⊢ (𝑁 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)

Proof of Theorem 0dig2pr01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4671	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {0, 1} → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2		2nn 12366	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		0z 12650	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		dig0 48340	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0(digit‘2)0) = 0)
5	2, 3, 4	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (0(digit‘2)0) = 0
6		oveq2 7456	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0(digit‘2)𝑁) = (0(digit‘2)0))
7		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
8	5, 6, 7	3eqtr4a 2806	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)
9		2z 12675	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
10		uzid 12918	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
11		0dig1 48343	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) → (0(digit‘2)1) = 1)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (0(digit‘2)1) = 1
13		oveq2 7456	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (0(digit‘2)𝑁) = (0(digit‘2)1))
14		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 = 1)
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2806	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)
16	8, 15	jaoi 856	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)
17	1, 16	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cpr 4650  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  digitcdig 48329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-dig 48330

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  48354  nn0sumshdiglem2  48356