Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dig2pr01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dig2pr01 47571
Description: The integers 0 and 1 correspond to their last bit. (Contributed by AV, 28-May-2010.)
Assertion
Ref Expression
0dig2pr01 (𝑁 ∈ {0, 1} β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 𝑁)

Proof of Theorem 0dig2pr01
StepHypRef Expression
1 elpri 4645 . 2 (𝑁 ∈ {0, 1} β†’ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2 2nn 12289 . . . . 5 2 ∈ β„•
3 0z 12573 . . . . 5 0 ∈ β„€
4 dig0 47567 . . . . 5 ((2 ∈ β„• ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (0(digitβ€˜2)0) = 0)
52, 3, 4mp2an 689 . . . 4 (0(digitβ€˜2)0) = 0
6 oveq2 7413 . . . 4 (𝑁 = 0 β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = (0(digitβ€˜2)0))
7 id 22 . . . 4 (𝑁 = 0 β†’ 𝑁 = 0)
85, 6, 73eqtr4a 2792 . . 3 (𝑁 = 0 β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 𝑁)
9 2z 12598 . . . . 5 2 ∈ β„€
10 uzid 12841 . . . . 5 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
11 0dig1 47570 . . . . 5 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0(digitβ€˜2)1) = 1)
129, 10, 11mp2b 10 . . . 4 (0(digitβ€˜2)1) = 1
13 oveq2 7413 . . . 4 (𝑁 = 1 β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = (0(digitβ€˜2)1))
14 id 22 . . . 4 (𝑁 = 1 β†’ 𝑁 = 1)
1512, 13, 143eqtr4a 2792 . . 3 (𝑁 = 1 β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 𝑁)
168, 15jaoi 854 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 𝑁)
171, 16syl 17 1 (𝑁 ∈ {0, 1} β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cpr 4625  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  digitcdig 47556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-dig 47557
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  47581  nn0sumshdiglem2  47583
  Copyright terms: Public domain W3C validator