Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dig2pr01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dig2pr01 47779
Description: The integers 0 and 1 correspond to their last bit. (Contributed by AV, 28-May-2010.)
Assertion
Ref Expression
0dig2pr01 (𝑁 ∈ {0, 1} β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 𝑁)

Proof of Theorem 0dig2pr01
StepHypRef Expression
1 elpri 4655 . 2 (𝑁 ∈ {0, 1} β†’ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2 2nn 12325 . . . . 5 2 ∈ β„•
3 0z 12609 . . . . 5 0 ∈ β„€
4 dig0 47775 . . . . 5 ((2 ∈ β„• ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (0(digitβ€˜2)0) = 0)
52, 3, 4mp2an 690 . . . 4 (0(digitβ€˜2)0) = 0
6 oveq2 7434 . . . 4 (𝑁 = 0 β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = (0(digitβ€˜2)0))
7 id 22 . . . 4 (𝑁 = 0 β†’ 𝑁 = 0)
85, 6, 73eqtr4a 2794 . . 3 (𝑁 = 0 β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 𝑁)
9 2z 12634 . . . . 5 2 ∈ β„€
10 uzid 12877 . . . . 5 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
11 0dig1 47778 . . . . 5 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0(digitβ€˜2)1) = 1)
129, 10, 11mp2b 10 . . . 4 (0(digitβ€˜2)1) = 1
13 oveq2 7434 . . . 4 (𝑁 = 1 β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = (0(digitβ€˜2)1))
14 id 22 . . . 4 (𝑁 = 1 β†’ 𝑁 = 1)
1512, 13, 143eqtr4a 2794 . . 3 (𝑁 = 1 β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 𝑁)
168, 15jaoi 855 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 𝑁)
171, 16syl 17 1 (𝑁 ∈ {0, 1} β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cpr 4634  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  1c1 11149  β„•cn 12252  2c2 12307  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  digitcdig 47764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13372  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-dig 47765
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  47789  nn0sumshdiglem2  47791
  Copyright terms: Public domain W3C validator