Theorem 0hashbc 17045

Description: There are no subsets of the empty set with size greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})

Assertion

Ref	Expression
0hashbc	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∅𝐶𝑁) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝑁,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)

Proof of Theorem 0hashbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9082	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		nnnn0 12533	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		ramval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
4	3	hashbc2 17044	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(∅𝐶𝑁)) = ((♯‘∅)C𝑁))
5	1, 2, 4	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(∅𝐶𝑁)) = ((♯‘∅)C𝑁))
6		hash0 14406	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	6	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((♯‘∅)C𝑁) = (0C𝑁)
8		bc0k 14350	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0C𝑁) = 0)
9	7, 8	eqtrid 2789	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘∅)C𝑁) = 0)
10	5, 9	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(∅𝐶𝑁)) = 0)
11		ovex 7464	. . 3 ⊢ (∅𝐶𝑁) ∈ V
12		hasheq0 14402	. . 3 ⊢ ((∅𝐶𝑁) ∈ V → ((♯‘(∅𝐶𝑁)) = 0 ↔ (∅𝐶𝑁) = ∅))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘(∅𝐶𝑁)) = 0 ↔ (∅𝐶𝑁) = ∅)
14	10, 13	sylib 218	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∅𝐶𝑁) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Fincfn 8985  0cc0 11155  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  Ccbc 14341  ♯chash 14369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370

This theorem is referenced by:  ramz2  17062