MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0hashbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0hashbc 16335
Description: There are no subsets of the empty set with size greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
Assertion
Ref Expression
0hashbc (𝑁 ∈ ℕ → (∅𝐶𝑁) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝑁,𝑎,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)

Proof of Theorem 0hashbc
StepHypRef Expression
1 0fin 8738 . . . 4 ∅ ∈ Fin
2 nnnn0 11896 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 ramval.c . . . . 5 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
43hashbc2 16334 . . . 4 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(∅𝐶𝑁)) = ((♯‘∅)C𝑁))
51, 2, 4sylancr 587 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(∅𝐶𝑁)) = ((♯‘∅)C𝑁))
6 hash0 13721 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
76oveq1i 7161 . . . 4 ((♯‘∅)C𝑁) = (0C𝑁)
8 bc0k 13664 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0C𝑁) = 0)
97, 8syl5eq 2872 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘∅)C𝑁) = 0)
105, 9eqtrd 2860 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(∅𝐶𝑁)) = 0)
11 ovex 7184 . . 3 (∅𝐶𝑁) ∈ V
12 hasheq0 13717 . . 3 ((∅𝐶𝑁) ∈ V → ((♯‘(∅𝐶𝑁)) = 0 ↔ (∅𝐶𝑁) = ∅))
1311, 12ax-mp 5 . 2 ((♯‘(∅𝐶𝑁)) = 0 ↔ (∅𝐶𝑁) = ∅)
1410, 13sylib 219 1 (𝑁 ∈ ℕ → (∅𝐶𝑁) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1530  wcel 2107  {crab 3146  Vcvv 3499  c0 4294  𝒫 cpw 4541  cfv 6351  (class class class)co 7151  cmpo 7153  Fincfn 8501  0cc0 10529  cn 11630  0cn0 11889  Ccbc 13655  chash 13683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-seq 13363  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684
This theorem is referenced by:  ramz2  16352
  Copyright terms: Public domain W3C validator