MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01eq0ringOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01eq0ringOLD 20557
Description: Obsolete version of 01eq0ring 20556 as of 23-Feb-2025. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
0ring01eq.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
01eq0ringOLD ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ringOLD
StepHypRef Expression
1 0ring.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
21fvexi 6934 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3 hashv01gt1 14394 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵))
5 hasheq0 14412 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
7 ne0i 4364 . . . . . . . . 9 ( 0𝐵𝐵 ≠ ∅)
8 eqneqall 2957 . . . . . . . . 9 (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
97, 8syl5com 31 . . . . . . . 8 ( 0𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
106, 9biimtrid 242 . . . . . . 7 ( 0𝐵 → ((♯‘𝐵) = 0 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
11 0ring.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
121, 11ring0cl 20290 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
1310, 12syl11 33 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
14 eqneqall 2957 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
1514a1d 25 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
16 0ring01eq.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r𝑅)
171, 16, 11ring1ne0 20322 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 10 )
1817necomd 3002 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 01 )
1918ex 412 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 01 ))
2019a1i 11 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 01 )))
2120com13 88 . . . . . 6 (1 < (♯‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
2213, 15, 213jaoi 1428 . . . . 5 (((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
234, 22ax-mp 5 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
2423necon4d 2970 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
2524imp 406 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
261, 110ring 20552 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
2725, 26syldan 590 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1086   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  Vcvv 3488  c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  cfv 6573  0cc0 11184  1c1 11185   < clt 11324  chash 14379  Basecbs 17258  0gc0g 17499  1rcur 20208  Ringcrg 20260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator