Theorem 01eq0ringOLD 20447

Description: Obsolete version of 01eq0ring 20446 as of 23-Feb-2025. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
01eq0ringOLD	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ringOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6875	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		hashv01gt1 14317	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵))
5		hasheq0 14335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
7		ne0i 4307	. . . . . . . . 9 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
8		eqneqall 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
9	7, 8	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
10	6, 9	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ((♯‘𝐵) = 0 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
11		0ring.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	1, 11	ring0cl 20183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
13	10, 12	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
14		eqneqall 2937	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 ))
15	14	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
16		0ring01eq.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	1, 16, 11	ring1ne0 20215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )
18	17	necomd 2981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 0 ≠ 1 )
19	18	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 0 ≠ 1 ))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 0 ≠ 1 )))
21	20	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (1 < (♯‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
22	13, 15, 21	3jaoi 1430	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
23	4, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 ))
24	23	necon4d 2950	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
25	24	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
26	1, 11	0ring 20442	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
27	25, 26	syldan 591	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  0cc0 11075  1c1 11076   < clt 11215  ♯chash 14302  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  1_rcur 20097  Ringcrg 20149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151

This theorem is referenced by: (None)