Theorem 01eq0ringOLD 20606

Description: Obsolete version of 01eq0ring 20605 as of 23-Feb-2025. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
01eq0ringOLD	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ringOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6885	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		hashv01gt1 14372	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵))
5		hasheq0 14390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
7		ne0i 4296	. . . . . . . . 9 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
8		eqneqall 2971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
9	7, 8	syl5com 32	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
10	6, 9	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ((♯‘𝐵) = 0 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
11		0ring.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	1, 11	ring0cl 20341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
13	10, 12	syl11 34	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
14		eqneqall 2971	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 ))
15	14	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
16		0ring01eq.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	1, 16, 11	ring1ne0 20373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )
18	17	necomd 3015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 0 ≠ 1 )
19	18	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 0 ≠ 1 ))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 0 ≠ 1 )))
21	20	com13 89	. . . . . 6 ⊢ (1 < (♯‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
22	13, 15, 21	3jaoi 1450	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
23	4, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 ))
24	23	necon4d 2984	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
25	24	imp 411	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
26	1, 11	0ring 20601	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
27	25, 26	syldan 602	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  ∅c0 4288  {csn 4585   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  0cc0 11088  1c1 11089   < clt 11231  ♯chash 14357  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  1_rcur 20254  Ringcrg 20306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-hash 14358  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308

This theorem is referenced by: (None)