Theorem 01eq0ringOLD 20812

Description: Obsolete version of 01eq0ring 20811 as of 23-Feb-2025. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
01eq0ringOLD	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ringOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6922	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		hashv01gt1 14516	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵))
5		hasheq0 14534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
7		ne0i 4290	. . . . . . . . 9 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
8		eqneqall 2970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
9	7, 8	syl5com 32	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
10	6, 9	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ((♯‘𝐵) = 0 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
11		0ring.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	1, 11	ring0cl 20526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
13	10, 12	syl11 34	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
14		eqneqall 2970	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 ))
15	14	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
16		0ring01eq.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	1, 16, 11	ring1ne0 20560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )
18	17	necomd 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 0 ≠ 1 )
19	18	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 0 ≠ 1 ))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 0 ≠ 1 )))
21	20	com13 89	. . . . . 6 ⊢ (1 < (♯‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
22	13, 15, 21	3jaoi 1455	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
23	4, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 ))
24	23	necon4d 2983	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
25	24	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
26	1, 11	0ring 20807	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
27	25, 26	syldan 603	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  0cc0 11227  1c1 11228   < clt 11370  ♯chash 14501  Basecbs 17416  0_gc0g 17639  1_rcur 20437  Ringcrg 20489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491

This theorem is used by: (None)