Theorem 01eq0ringOLD 20698

Description: Obsolete version of 01eq0ring 20697 as of 23-Feb-2025. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
01eq0ringOLD	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ringOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6896	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		hashv01gt1 14413	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵))
5		hasheq0 14431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
7		ne0i 4290	. . . . . . . . 9 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
8		eqneqall 2968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
9	7, 8	syl5com 32	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
10	6, 9	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ((♯‘𝐵) = 0 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
11		0ring.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	1, 11	ring0cl 20414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
13	10, 12	syl11 34	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
14		eqneqall 2968	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 ))
15	14	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
16		0ring01eq.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	1, 16, 11	ring1ne0 20447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )
18	17	necomd 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 0 ≠ 1 )
19	18	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 0 ≠ 1 ))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 0 ≠ 1 )))
21	20	com13 89	. . . . . 6 ⊢ (1 < (♯‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
22	13, 15, 21	3jaoi 1454	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
23	4, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 ))
24	23	necon4d 2981	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
25	24	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
26	1, 11	0ring 20693	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
27	25, 26	syldan 603	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {csn 4587   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  0cc0 11128  1c1 11129   < clt 11271  ♯chash 14398  Basecbs 17307  0_gc0g 17530  1_rcur 20326  Ringcrg 20378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-hash 14399  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380

This theorem is used by: (None)