MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01eq0ringOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01eq0ringOLD 20532
Description: Obsolete version of 01eq0ring 20531 as of 23-Feb-2025. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
0ring01eq.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
01eq0ringOLD ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ringOLD
StepHypRef Expression
1 0ring.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
21fvexi 6919 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3 hashv01gt1 14385 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵))
5 hasheq0 14403 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
7 ne0i 4340 . . . . . . . . 9 ( 0𝐵𝐵 ≠ ∅)
8 eqneqall 2950 . . . . . . . . 9 (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
97, 8syl5com 31 . . . . . . . 8 ( 0𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
106, 9biimtrid 242 . . . . . . 7 ( 0𝐵 → ((♯‘𝐵) = 0 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
11 0ring.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
121, 11ring0cl 20265 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
1310, 12syl11 33 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
14 eqneqall 2950 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
1514a1d 25 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
16 0ring01eq.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r𝑅)
171, 16, 11ring1ne0 20297 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 10 )
1817necomd 2995 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 01 )
1918ex 412 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 01 ))
2019a1i 11 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 01 )))
2120com13 88 . . . . . 6 (1 < (♯‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
2213, 15, 213jaoi 1429 . . . . 5 (((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
234, 22ax-mp 5 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
2423necon4d 2963 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
2524imp 406 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
261, 110ring 20527 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
2725, 26syldan 591 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1085   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  cfv 6560  0cc0 11156  1c1 11157   < clt 11296  chash 14370  Basecbs 17248  0gc0g 17485  1rcur 20179  Ringcrg 20231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator