Theorem 0ringdif 20829

Description: A zero ring is a ring which is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ringdif	⊢ (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))

Proof of Theorem 0ringdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 4052	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
2		0ring.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4	3	fveqeq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
5		0ring.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	2, 5	0ring 20828	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
7	6	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
8		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
9	5	fvexi 6930	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
10		hashsng 14554	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{ 0 }) = 1
12	8, 11	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
13	7, 12	impbid1 228	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = { 0 }))
14		0ringnnzr 20827	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
15	4, 13, 14	3bitr3rd 313	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝐵 = { 0 }))
16	15	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))
17	1, 16	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6566  1c1 11240  ♯chash 14515  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  Ringcrg 20510  NzRingcnzr 20813

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-nzr 20814

This theorem is used by:  0ringbas  20830