Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0ringdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ringdif 46242
Description: A zero ring is a ring which is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
0ringdif.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringdif.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
0ringdif (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))

Proof of Theorem 0ringdif
StepHypRef Expression
1 eldif 3925 . 2 (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
2 0ringdif.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
32a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘𝑅))
43fveqeq2d 6855 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
5 0ringdif.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
62, 50ring 20756 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
76ex 414 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
8 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
95fvexi 6861 . . . . . . 7 0 ∈ V
10 hashsng 14276 . . . . . . 7 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘{ 0 }) = 1
128, 11eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
137, 12impbid1 224 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = { 0 }))
14 0ringnnzr 20755 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
154, 13, 143bitr3rd 310 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝐵 = { 0 }))
1615pm5.32i 576 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))
171, 16bitri 275 1 (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  cdif 3912  {csn 4591  cfv 6501  1c1 11059  chash 14237  Basecbs 17090  0gc0g 17328  Ringcrg 19971  NzRingcnzr 20743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-nzr 20744
This theorem is referenced by:  0ringbas  46243
  Copyright terms: Public domain W3C validator