Theorem 0ringdif 20436

Description: A zero ring is a ring which is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ringdif	⊢ (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))

Proof of Theorem 0ringdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3924	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
2		0ring.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4	3	fveqeq2d 6866	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
5		0ring.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	2, 5	0ring 20435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
7	6	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
8		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
9	5	fvexi 6872	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
10		hashsng 14334	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{ 0 }) = 1
12	8, 11	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
13	7, 12	impbid1 225	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = { 0 }))
14		0ringnnzr 20434	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
15	4, 13, 14	3bitr3rd 310	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝐵 = { 0 }))
16	15	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))
17	1, 16	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911  {csn 4589  ‘cfv 6511  1c1 11069  ♯chash 14295  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Ringcrg 20142  NzRingcnzr 20421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-nzr 20422

This theorem is referenced by:  0ringbas  20437