Theorem 0ringdif 20625

Description: A zero ring is a ring which is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ringdif	⊢ (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))

Proof of Theorem 0ringdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3915	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
2		0ring.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4	3	fveqeq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
5		0ring.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	2, 5	0ring 20624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
7	6	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
8		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
9	5	fvexi 6895	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
10		hashsng 14401	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{ 0 }) = 1
12	8, 11	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
13	7, 12	impbid1 228	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = { 0 }))
14		0ringnnzr 20623	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
15	4, 13, 14	3bitr3rd 313	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝐵 = { 0 }))
16	15	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))
17	1, 16	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902  {csn 4589  ‘cfv 6536  1c1 11096  ♯chash 14362  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  Ringcrg 20310  NzRingcnzr 20609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-nzr 20610

This theorem is referenced by:  0ringbas  20626