Theorem 0ringidl 32814

Description: The zero ideal is the only ideal of the trivial ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringidl.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ringidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})

Proof of Theorem 0ringidl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ringidl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3	1, 2	lidlss 20979	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ 𝐵)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ⊆ 𝐵)
5		0ringidl.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	1, 5	0ring 20416	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐵 = { 0 })
8	4, 7	sseqtrd 4022	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ⊆ { 0 })
9	2, 5	lidl0cl 20985	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑖)
10	9	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑖)
11	10	snssd 4812	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → { 0 } ⊆ 𝑖)
12	8, 11	eqssd 3999	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 = { 0 })
13	2, 5	lidl0 20994	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
14	13	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	12, 14	eqsnd 32034	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ‘cfv 6543  1c1 11115  ♯chash 14295  Basecbs 17149  0_gc0g 17390  Ringcrg 20128  LIdealclidl 20929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933

This theorem is referenced by:  drngidlhash  32827  0ringprmidl  32843  zar0ring  33157