Theorem vr1cl 22471

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22446	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22449	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8632	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 23	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8495	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 22235	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  ωcom 7864  1_oc1o 8452  Basecbs 17323  Ringcrg 20395   mVar cmvr 22149   mPoly cmpl 22150  var₁cv1 22430  Poly₁cpl1 22431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-4 12351  df-5 12352  df-6 12353  df-7 12354  df-8 12355  df-9 12356  df-n0 12551  df-z 12638  df-dec 12759  df-uz 12910  df-fz 13584  df-struct 17261  df-sets 17278  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-ress 17345  df-plusg 17377  df-mulr 17378  df-sca 17380  df-vsca 17381  df-tset 17383  df-ple 17384  df-0g 17548  df-mgm 18752  df-sgrp 18844  df-mnd 18860  df-grp 19083  df-mgp 20297  df-ur 20344  df-ring 20397  df-psr 22153  df-mvr 22154  df-mpl 22155  df-opsr 22157  df-psr1 22434  df-vr1 22435  df-ply1 22436

This theorem is used by:  ply1moncl  22526  coe1pwmul  22534  ply1scltm  22536  ply1idvr1  22549  ply1coefsupp  22551  ply1coe  22552  gsummoncoe1  22562  lply1binom  22564  ply1fermltlchr  22566  evls1varpw  22581  evl1var  22590  evl1vard  22591  evls1var  22592  pf1id  22601  evl1scvarpw  22617  evl1scvarpwval  22618  evl1gsummon  22619  evls1varpwval  22622  evls1fpws  22623  rhmply1vr1  22638  rhmply1mon  22640  pmatcollpwscmatlem1  23043  mply1topmatcllem  23057  mply1topmatcl  23059  pm2mpghm  23070  monmat2matmon  23078  pm2mp  23079  chmatcl  23082  chmatval  23083  chpmat0d  23088  chpmat1dlem  23089  chpmat1d  23090  chpdmatlem0  23091  chpdmatlem2  23093  chpdmatlem3  23094  chpscmat  23096  chpscmatgsumbin  23098  chpscmatgsummon  23099  chp0mat  23100  chpidmat  23101  chfacfscmulcl  23111  chfacfscmul0  23112  chfacfscmulgsum  23114  cpmadugsumlemB  23128  cpmadugsumlemC  23129  cpmadugsumlemF  23130  cpmadugsumfi  23131  cpmidgsum2  23133  deg1pw  26375  ply1remlem  26419  fta1blem  26425  idomrootle  26427  plypf1  26467  lgsqrlem2  27612  lgsqrlem3  27613  lgsqrlem4  27614  evls1monply1  34019  ply1coedeg  34029  coe1vr1  34031  deg1vr  34032  gsummoncoe1fzo  34037  vietadeg1  34118  vietalem  34119  ply1degltdimlem  34162  ply1degltdim  34163  extdgfialglem2  34233  algextdeglem4  34260  rtelextdg2lem  34266  2sqr3minply  34320  cos9thpiminplylem6  34327  cos9thpiminply  34328  aks6d1c1p2  42989  aks6d1c1p3  42990  aks6d1c1p7  42993  aks6d1c1  42996  aks6d1c2lem4  43007  aks6d1c5lem0  43015  aks6d1c5lem3  43017  aks6d1c5  43019  aks6d1c6lem1  43050  aks5lem2  43067  aks5lem3a  43069  aks5lem5a  43071  hbtlem4  43981  ply1vr1smo  49327  ply1mulgsumlem4  49333  ply1mulgsum  49334  linply1  49337