Theorem vr1cl 22130

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22104	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22107	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8555	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8419	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 21929	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ωcom 7796  1_oc1o 8378  Basecbs 17120  Ringcrg 20151   mVar cmvr 21842   mPoly cmpl 21843  var₁cv1 22088  Poly₁cpl1 22089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-tset 17180  df-ple 17181  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22185  coe1pwmul  22193  ply1scltm  22195  ply1idvr1  22209  ply1coefsupp  22212  ply1coe  22213  gsummoncoe1  22223  lply1binom  22225  ply1fermltlchr  22227  evls1varpw  22242  evl1var  22251  evl1vard  22252  evls1var  22253  pf1id  22262  evl1scvarpw  22278  evl1scvarpwval  22279  evl1gsummon  22280  evls1varpwval  22283  evls1fpws  22284  rhmply1vr1  22302  rhmply1mon  22304  pmatcollpwscmatlem1  22704  mply1topmatcllem  22718  mply1topmatcl  22720  pm2mpghm  22731  monmat2matmon  22739  pm2mp  22740  chmatcl  22743  chmatval  22744  chpmat0d  22749  chpmat1dlem  22750  chpmat1d  22751  chpdmatlem0  22752  chpdmatlem2  22754  chpdmatlem3  22755  chpscmat  22757  chpscmatgsumbin  22759  chpscmatgsummon  22760  chp0mat  22761  chpidmat  22762  chfacfscmulcl  22772  chfacfscmul0  22773  chfacfscmulgsum  22775  cpmadugsumlemB  22789  cpmadugsumlemC  22790  cpmadugsumlemF  22791  cpmadugsumfi  22792  cpmidgsum2  22794  deg1pw  26053  ply1remlem  26097  fta1blem  26103  idomrootle  26105  plypf1  26144  lgsqrlem2  27285  lgsqrlem3  27286  lgsqrlem4  27287  evls1monply1  33542  coe1vr1  33552  deg1vr  33553  gsummoncoe1fzo  33558  ply1degltdimlem  33635  ply1degltdim  33636  extdgfialglem2  33706  algextdeglem4  33733  rtelextdg2lem  33739  2sqr3minply  33793  cos9thpiminplylem6  33800  cos9thpiminply  33801  aks6d1c1p2  42201  aks6d1c1p3  42202  aks6d1c1p7  42205  aks6d1c1  42208  aks6d1c2lem4  42219  aks6d1c5lem0  42227  aks6d1c5lem3  42229  aks6d1c5  42231  aks6d1c6lem1  42262  aks5lem2  42279  aks5lem3a  42281  aks5lem5a  42283  hbtlem4  43218  ply1vr1smo  48482  ply1mulgsumlem4  48489  ply1mulgsum  48490  linply1  48493