Theorem vr1cl 22153

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22127	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22130	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8652	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8516	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 21952	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4308  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ωcom 7861  1_oc1o 8473  Basecbs 17228  Ringcrg 20193   mVar cmvr 21865   mPoly cmpl 21866  var₁cv1 22111  Poly₁cpl1 22112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-tset 17290  df-ple 17291  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22115  df-vr1 22116  df-ply1 22117

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22208  coe1pwmul  22216  ply1scltm  22218  ply1idvr1  22232  ply1coefsupp  22235  ply1coe  22236  gsummoncoe1  22246  lply1binom  22248  ply1fermltlchr  22250  evls1varpw  22265  evl1var  22274  evl1vard  22275  evls1var  22276  pf1id  22285  evl1scvarpw  22301  evl1scvarpwval  22302  evl1gsummon  22303  evls1varpwval  22306  evls1fpws  22307  rhmply1vr1  22325  rhmply1mon  22327  pmatcollpwscmatlem1  22727  mply1topmatcllem  22741  mply1topmatcl  22743  pm2mpghm  22754  monmat2matmon  22762  pm2mp  22763  chmatcl  22766  chmatval  22767  chpmat0d  22772  chpmat1dlem  22773  chpmat1d  22774  chpdmatlem0  22775  chpdmatlem2  22777  chpdmatlem3  22778  chpscmat  22780  chpscmatgsumbin  22782  chpscmatgsummon  22783  chp0mat  22784  chpidmat  22785  chfacfscmulcl  22795  chfacfscmul0  22796  chfacfscmulgsum  22798  cpmadugsumlemB  22812  cpmadugsumlemC  22813  cpmadugsumlemF  22814  cpmadugsumfi  22815  cpmidgsum2  22817  deg1pw  26078  ply1remlem  26122  fta1blem  26128  idomrootle  26130  plypf1  26169  lgsqrlem2  27310  lgsqrlem3  27311  lgsqrlem4  27312  coe1vr1  33601  deg1vr  33602  gsummoncoe1fzo  33607  ply1degltdimlem  33662  ply1degltdim  33663  algextdeglem4  33754  rtelextdg2lem  33760  2sqr3minply  33814  cos9thpiminplylem6  33821  cos9thpiminply  33822  aks6d1c1p2  42122  aks6d1c1p3  42123  aks6d1c1p7  42126  aks6d1c1  42129  aks6d1c2lem4  42140  aks6d1c5lem0  42148  aks6d1c5lem3  42150  aks6d1c5  42152  aks6d1c6lem1  42183  aks5lem2  42200  aks5lem3a  42202  aks5lem5a  42204  hbtlem4  43150  ply1vr1smo  48358  ply1mulgsumlem4  48365  ply1mulgsum  48366  linply1  48369