MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vr1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vr1cl 20320
Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vr1cl.x 𝑋 = (var1𝑅)
vr1cl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
vr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
vr1cl (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)

Proof of Theorem vr1cl
StepHypRef Expression
1 vr1cl.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
21vr1val 20295 . 2 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3 eqid 2826 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4 eqid 2826 . . 3 (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5 vr1cl.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 eqid 2826 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
7 vr1cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
85, 6, 7ply1bas 20298 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
9 1onn 8260 . . . 4 1o ∈ ω
109a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
11 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12 0lt1o 8125 . . . 4 ∅ ∈ 1o
1312a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
143, 4, 8, 10, 11, 13mvrcl 20164 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
152, 14eqeltrid 2922 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  c0 4295  cfv 6354  (class class class)co 7150  ωcom 7573  1oc1o 8091  Basecbs 16478  Ringcrg 19233   mVar cmvr 20067   mPoly cmpl 20068  PwSer1cps1 20278  var1cv1 20279  Poly1cpl1 20280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12888  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-ple 16580  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18051  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-psr 20071  df-mvr 20072  df-mpl 20073  df-opsr 20075  df-psr1 20283  df-vr1 20284  df-ply1 20285
This theorem is referenced by:  ply1moncl  20374  coe1pwmul  20382  ply1scltm  20384  ply1coefsupp  20398  ply1coe  20399  gsummoncoe1  20407  lply1binom  20409  evls1varpw  20425  evl1var  20434  evl1vard  20435  evls1var  20436  pf1id  20445  evl1scvarpw  20461  evl1scvarpwval  20462  evl1gsummon  20463  pmatcollpwscmatlem1  21332  mply1topmatcllem  21346  mply1topmatcl  21348  pm2mpghm  21359  monmat2matmon  21367  pm2mp  21368  chmatcl  21371  chmatval  21372  chpmat0d  21377  chpmat1dlem  21378  chpmat1d  21379  chpdmatlem0  21380  chpdmatlem2  21382  chpdmatlem3  21383  chpscmat  21385  chpscmatgsumbin  21387  chpscmatgsummon  21388  chp0mat  21389  chpidmat  21390  chfacfscmulcl  21400  chfacfscmul0  21401  chfacfscmulgsum  21403  cpmadugsumlemB  21417  cpmadugsumlemC  21418  cpmadugsumlemF  21419  cpmadugsumfi  21420  cpmidgsum2  21422  deg1pw  24648  ply1remlem  24690  fta1blem  24696  plypf1  24736  lgsqrlem2  25856  lgsqrlem3  25857  lgsqrlem4  25858  hbtlem4  39610  idomrootle  39679  ply1vr1smo  44337  ply1mulgsumlem4  44345  ply1mulgsum  44346  linply1  44349
  Copyright terms: Public domain W3C validator