Theorem vr1cl 22235

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22209	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22212	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8677	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8541	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 22030	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1_oc1o 8498  Basecbs 17245  Ringcrg 20251   mVar cmvr 21943   mPoly cmpl 21944  var₁cv1 22193  Poly₁cpl1 22194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-ple 17318  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22290  coe1pwmul  22298  ply1scltm  22300  ply1idvr1  22314  ply1coefsupp  22317  ply1coe  22318  gsummoncoe1  22328  lply1binom  22330  ply1fermltlchr  22332  evls1varpw  22347  evl1var  22356  evl1vard  22357  evls1var  22358  pf1id  22367  evl1scvarpw  22383  evl1scvarpwval  22384  evl1gsummon  22385  evls1varpwval  22388  evls1fpws  22389  rhmply1vr1  22407  rhmply1mon  22409  pmatcollpwscmatlem1  22811  mply1topmatcllem  22825  mply1topmatcl  22827  pm2mpghm  22838  monmat2matmon  22846  pm2mp  22847  chmatcl  22850  chmatval  22851  chpmat0d  22856  chpmat1dlem  22857  chpmat1d  22858  chpdmatlem0  22859  chpdmatlem2  22861  chpdmatlem3  22862  chpscmat  22864  chpscmatgsumbin  22866  chpscmatgsummon  22867  chp0mat  22868  chpidmat  22869  chfacfscmulcl  22879  chfacfscmul0  22880  chfacfscmulgsum  22882  cpmadugsumlemB  22896  cpmadugsumlemC  22897  cpmadugsumlemF  22898  cpmadugsumfi  22899  cpmidgsum2  22901  deg1pw  26175  ply1remlem  26219  fta1blem  26225  idomrootle  26227  plypf1  26266  lgsqrlem2  27406  lgsqrlem3  27407  lgsqrlem4  27408  coe1vr1  33593  deg1vr  33594  gsummoncoe1fzo  33598  ply1degltdimlem  33650  ply1degltdim  33651  algextdeglem4  33726  rtelextdg2lem  33732  2sqr3minply  33753  aks6d1c1p2  42091  aks6d1c1p3  42092  aks6d1c1p7  42095  aks6d1c1  42098  aks6d1c2lem4  42109  aks6d1c5lem0  42117  aks6d1c5lem3  42119  aks6d1c5  42121  aks6d1c6lem1  42152  aks5lem2  42169  aks5lem3a  42171  aks5lem5a  42173  hbtlem4  43115  ply1vr1smo  48228  ply1mulgsumlem4  48235  ply1mulgsum  48236  linply1  48239