Theorem vr1cl 22206

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22181	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2741	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2741	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22184	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8570	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8433	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 21970	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2845	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∅c0 4264  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ωcom 7810  1_oc1o 8392  Basecbs 17174  Ringcrg 20209   mVar cmvr 21884   mPoly cmpl 21885  var₁cv1 22165  Poly₁cpl1 22166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-tset 17234  df-ple 17235  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-psr 21888  df-mvr 21889  df-mpl 21890  df-opsr 21892  df-psr1 22169  df-vr1 22170  df-ply1 22171

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22261  coe1pwmul  22269  ply1scltm  22271  ply1idvr1  22284  ply1coefsupp  22287  ply1coe  22288  gsummoncoe1  22298  lply1binom  22300  ply1fermltlchr  22302  evls1varpw  22317  evl1var  22326  evl1vard  22327  evls1var  22328  pf1id  22337  evl1scvarpw  22353  evl1scvarpwval  22354  evl1gsummon  22355  evls1varpwval  22358  evls1fpws  22359  rhmply1vr1  22374  rhmply1mon  22376  pmatcollpwscmatlem1  22776  mply1topmatcllem  22790  mply1topmatcl  22792  pm2mpghm  22803  monmat2matmon  22811  pm2mp  22812  chmatcl  22815  chmatval  22816  chpmat0d  22821  chpmat1dlem  22822  chpmat1d  22823  chpdmatlem0  22824  chpdmatlem2  22826  chpdmatlem3  22827  chpscmat  22829  chpscmatgsumbin  22831  chpscmatgsummon  22832  chp0mat  22833  chpidmat  22834  chfacfscmulcl  22844  chfacfscmul0  22845  chfacfscmulgsum  22847  cpmadugsumlemB  22861  cpmadugsumlemC  22862  cpmadugsumlemF  22863  cpmadugsumfi  22864  cpmidgsum2  22866  deg1pw  26108  ply1remlem  26152  fta1blem  26158  idomrootle  26160  plypf1  26199  lgsqrlem2  27332  lgsqrlem3  27333  lgsqrlem4  27334  evls1monply1  33674  ply1coedeg  33684  coe1vr1  33686  deg1vr  33687  gsummoncoe1fzo  33692  vietadeg1  33774  vietalem  33775  ply1degltdimlem  33818  ply1degltdim  33819  extdgfialglem2  33889  algextdeglem4  33916  rtelextdg2lem  33922  2sqr3minply  33976  cos9thpiminplylem6  33983  cos9thpiminply  33984  aks6d1c1p2  42609  aks6d1c1p3  42610  aks6d1c1p7  42613  aks6d1c1  42616  aks6d1c2lem4  42627  aks6d1c5lem0  42635  aks6d1c5lem3  42637  aks6d1c5  42639  aks6d1c6lem1  42670  aks5lem2  42687  aks5lem3a  42689  aks5lem5a  42691  hbtlem4  43586  ply1vr1smo  48888  ply1mulgsumlem4  48894  ply1mulgsum  48895  linply1  48898