Theorem vr1cl 21397

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 21372	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2739	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2739	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	5, 6, 7	ply1bas 21375	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
9		1onn 8479	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
11		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12		0lt1o 8343	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
14	3, 4, 8, 10, 11, 13	mvrcl 21230	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
15	2, 14	eqeltrid 2844	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4257  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ωcom 7721  1_oc1o 8299  Basecbs 16921  Ringcrg 19792   mVar cmvr 21117   mPoly cmpl 21118  PwSer₁cps1 21355  var₁cv1 21356  Poly₁cpl1 21357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-map 8626  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-fz 13249  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-tset 16990  df-ple 16991  df-0g 17161  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-grp 18589  df-mgp 19730  df-ur 19747  df-ring 19794  df-psr 21121  df-mvr 21122  df-mpl 21123  df-opsr 21125  df-psr1 21360  df-vr1 21361  df-ply1 21362

This theorem is referenced by:  ply1moncl  21451  coe1pwmul  21459  ply1scltm  21461  ply1coefsupp  21475  ply1coe  21476  gsummoncoe1  21484  lply1binom  21486  evls1varpw  21502  evl1var  21511  evl1vard  21512  evls1var  21513  pf1id  21522  evl1scvarpw  21538  evl1scvarpwval  21539  evl1gsummon  21540  pmatcollpwscmatlem1  21947  mply1topmatcllem  21961  mply1topmatcl  21963  pm2mpghm  21974  monmat2matmon  21982  pm2mp  21983  chmatcl  21986  chmatval  21987  chpmat0d  21992  chpmat1dlem  21993  chpmat1d  21994  chpdmatlem0  21995  chpdmatlem2  21997  chpdmatlem3  21998  chpscmat  22000  chpscmatgsumbin  22002  chpscmatgsummon  22003  chp0mat  22004  chpidmat  22005  chfacfscmulcl  22015  chfacfscmul0  22016  chfacfscmulgsum  22018  cpmadugsumlemB  22032  cpmadugsumlemC  22033  cpmadugsumlemF  22034  cpmadugsumfi  22035  cpmidgsum2  22037  deg1pw  25294  ply1remlem  25336  fta1blem  25342  plypf1  25382  lgsqrlem2  26504  lgsqrlem3  26505  lgsqrlem4  26506  ply1fermltl  31679  hbtlem4  40958  idomrootle  41027  ply1vr1smo  45733  ply1mulgsumlem4  45741  ply1mulgsum  45742  linply1  45745