Theorem vr1cl 22535

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22510	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22513	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8649	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 23	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8512	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 22299	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2865	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877  1_oc1o 8469  Basecbs 17387  Ringcrg 20459   mVar cmvr 22213   mPoly cmpl 22214  var₁cv1 22494  Poly₁cpl1 22495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-tset 17447  df-ple 17448  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500

This theorem is used by:  ply1moncl  22590  coe1pwmul  22598  ply1scltm  22600  ply1idvr1  22613  ply1coefsupp  22615  ply1coe  22616  gsummoncoe1  22626  lply1binom  22628  ply1fermltlchr  22630  evls1varpw  22645  evl1var  22654  evl1vard  22655  evls1var  22656  pf1id  22665  evl1scvarpw  22681  evl1scvarpwval  22682  evl1gsummon  22683  evls1varpwval  22686  evls1fpws  22687  rhmply1vr1  22702  rhmply1mon  22704  pmatcollpwscmatlem1  23107  mply1topmatcllem  23121  mply1topmatcl  23123  pm2mpghm  23134  monmat2matmon  23142  pm2mp  23143  chmatcl  23146  chmatval  23147  chpmat0d  23152  chpmat1dlem  23153  chpmat1d  23154  chpdmatlem0  23155  chpdmatlem2  23157  chpdmatlem3  23158  chpscmat  23160  chpscmatgsumbin  23162  chpscmatgsummon  23163  chp0mat  23164  chpidmat  23165  chfacfscmulcl  23175  chfacfscmul0  23176  chfacfscmulgsum  23178  cpmadugsumlemB  23192  cpmadugsumlemC  23193  cpmadugsumlemF  23194  cpmadugsumfi  23195  cpmidgsum2  23197  deg1pw  26439  ply1remlem  26483  fta1blem  26489  idomrootle  26491  plypf1  26531  lgsqrlem2  27674  lgsqrlem3  27675  lgsqrlem4  27676  evls1monply1  34111  ply1coedeg  34121  coe1vr1  34123  deg1vr  34124  gsummoncoe1fzo  34129  vietadeg1  34210  vietalem  34211  ply1degltdimlem  34254  ply1degltdim  34255  extdgfialglem2  34325  algextdeglem4  34352  rtelextdg2lem  34358  2sqr3minply  34412  cos9thpiminplylem6  34419  cos9thpiminply  34420  aks6d1c1p2  43159  aks6d1c1p3  43160  aks6d1c1p7  43163  aks6d1c1  43166  aks6d1c2lem4  43177  aks6d1c5lem0  43185  aks6d1c5lem3  43187  aks6d1c5  43189  aks6d1c6lem1  43220  aks5lem2  43237  aks5lem3a  43239  aks5lem5a  43241  hbtlem4  44127  ply1vr1smo  49494  ply1mulgsumlem4  49500  ply1mulgsum  49501  linply1  49504