Theorem vr1cl 22386

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22361	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22364	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8622	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 23	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8485	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 22150	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4286  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7858  1_oc1o 8442  Basecbs 17273  Ringcrg 20319   mVar cmvr 22064   mPoly cmpl 22065  var₁cv1 22345  Poly₁cpl1 22346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-tset 17333  df-ple 17334  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-mgp 20221  df-ur 20268  df-ring 20321  df-psr 22068  df-mvr 22069  df-mpl 22070  df-opsr 22072  df-psr1 22349  df-vr1 22350  df-ply1 22351

This theorem is used by:  ply1moncl  22441  coe1pwmul  22449  ply1scltm  22451  ply1idvr1  22464  ply1coefsupp  22466  ply1coe  22467  gsummoncoe1  22477  lply1binom  22479  ply1fermltlchr  22481  evls1varpw  22496  evl1var  22505  evl1vard  22506  evls1var  22507  pf1id  22516  evl1scvarpw  22532  evl1scvarpwval  22533  evl1gsummon  22534  evls1varpwval  22537  evls1fpws  22538  rhmply1vr1  22553  rhmply1mon  22555  pmatcollpwscmatlem1  22955  mply1topmatcllem  22969  mply1topmatcl  22971  pm2mpghm  22982  monmat2matmon  22990  pm2mp  22991  chmatcl  22994  chmatval  22995  chpmat0d  23000  chpmat1dlem  23001  chpmat1d  23002  chpdmatlem0  23003  chpdmatlem2  23005  chpdmatlem3  23006  chpscmat  23008  chpscmatgsumbin  23010  chpscmatgsummon  23011  chp0mat  23012  chpidmat  23013  chfacfscmulcl  23023  chfacfscmul0  23024  chfacfscmulgsum  23026  cpmadugsumlemB  23040  cpmadugsumlemC  23041  cpmadugsumlemF  23042  cpmadugsumfi  23043  cpmidgsum2  23045  deg1pw  26287  ply1remlem  26331  fta1blem  26337  idomrootle  26339  plypf1  26378  lgsqrlem2  27520  lgsqrlem3  27521  lgsqrlem4  27522  evls1monply1  33878  ply1coedeg  33888  coe1vr1  33890  deg1vr  33891  gsummoncoe1fzo  33896  vietadeg1  33977  vietalem  33978  ply1degltdimlem  34021  ply1degltdim  34022  extdgfialglem2  34092  algextdeglem4  34119  rtelextdg2lem  34125  2sqr3minply  34179  cos9thpiminplylem6  34186  cos9thpiminply  34187  aks6d1c1p2  42904  aks6d1c1p3  42905  aks6d1c1p7  42908  aks6d1c1  42911  aks6d1c2lem4  42922  aks6d1c5lem0  42930  aks6d1c5lem3  42932  aks6d1c5  42934  aks6d1c6lem1  42965  aks5lem2  42982  aks5lem3a  42984  aks5lem5a  42986  hbtlem4  43881  ply1vr1smo  49191  ply1mulgsumlem4  49197  ply1mulgsum  49198  linply1  49201