MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vr1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vr1cl 20313
Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vr1cl.x 𝑋 = (var1𝑅)
vr1cl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
vr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
vr1cl (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)

Proof of Theorem vr1cl
StepHypRef Expression
1 vr1cl.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
21vr1val 20288 . 2 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3 eqid 2818 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4 eqid 2818 . . 3 (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5 vr1cl.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 eqid 2818 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
7 vr1cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
85, 6, 7ply1bas 20291 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
9 1onn 8254 . . . 4 1o ∈ ω
109a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
11 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12 0lt1o 8118 . . . 4 ∅ ∈ 1o
1312a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
143, 4, 8, 10, 11, 13mvrcl 20157 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
152, 14eqeltrid 2914 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  c0 4288  cfv 6348  (class class class)co 7145  ωcom 7569  1oc1o 8084  Basecbs 16471  Ringcrg 19226   mVar cmvr 20060   mPoly cmpl 20061  PwSer1cps1 20271  var1cv1 20272  Poly1cpl1 20273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-tset 16572  df-ple 16573  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-psr 20064  df-mvr 20065  df-mpl 20066  df-opsr 20068  df-psr1 20276  df-vr1 20277  df-ply1 20278
This theorem is referenced by:  ply1moncl  20367  coe1pwmul  20375  ply1scltm  20377  ply1coefsupp  20391  ply1coe  20392  gsummoncoe1  20400  lply1binom  20402  evls1varpw  20418  evl1var  20427  evl1vard  20428  evls1var  20429  pf1id  20438  evl1scvarpw  20454  evl1scvarpwval  20455  evl1gsummon  20456  pmatcollpwscmatlem1  21325  mply1topmatcllem  21339  mply1topmatcl  21341  pm2mpghm  21352  monmat2matmon  21360  pm2mp  21361  chmatcl  21364  chmatval  21365  chpmat0d  21370  chpmat1dlem  21371  chpmat1d  21372  chpdmatlem0  21373  chpdmatlem2  21375  chpdmatlem3  21376  chpscmat  21378  chpscmatgsumbin  21380  chpscmatgsummon  21381  chp0mat  21382  chpidmat  21383  chfacfscmulcl  21393  chfacfscmul0  21394  chfacfscmulgsum  21396  cpmadugsumlemB  21410  cpmadugsumlemC  21411  cpmadugsumlemF  21412  cpmadugsumfi  21413  cpmidgsum2  21415  deg1pw  24641  ply1remlem  24683  fta1blem  24689  plypf1  24729  lgsqrlem2  25850  lgsqrlem3  25851  lgsqrlem4  25852  hbtlem4  39604  idomrootle  39673  ply1vr1smo  44363  ply1mulgsumlem4  44371  ply1mulgsum  44372  linply1  44375
  Copyright terms: Public domain W3C validator