Theorem vr1cl 22281

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22256	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2764	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2764	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22259	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8612	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8475	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 22045	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2868	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∅c0 4287  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ωcom 7848  1_oc1o 8432  Basecbs 17247  Ringcrg 20285   mVar cmvr 21959   mPoly cmpl 21960  var₁cv1 22240  Poly₁cpl1 22241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-tset 17307  df-ple 17308  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-mgp 20189  df-ur 20234  df-ring 20287  df-psr 21963  df-mvr 21964  df-mpl 21965  df-opsr 21967  df-psr1 22244  df-vr1 22245  df-ply1 22246

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22336  coe1pwmul  22344  ply1scltm  22346  ply1idvr1  22359  ply1coefsupp  22362  ply1coe  22363  gsummoncoe1  22373  lply1binom  22375  ply1fermltlchr  22377  evls1varpw  22392  evl1var  22401  evl1vard  22402  evls1var  22403  pf1id  22412  evl1scvarpw  22428  evl1scvarpwval  22429  evl1gsummon  22430  evls1varpwval  22433  evls1fpws  22434  rhmply1vr1  22449  rhmply1mon  22451  pmatcollpwscmatlem1  22851  mply1topmatcllem  22865  mply1topmatcl  22867  pm2mpghm  22878  monmat2matmon  22886  pm2mp  22887  chmatcl  22890  chmatval  22891  chpmat0d  22896  chpmat1dlem  22897  chpmat1d  22898  chpdmatlem0  22899  chpdmatlem2  22901  chpdmatlem3  22902  chpscmat  22904  chpscmatgsumbin  22906  chpscmatgsummon  22907  chp0mat  22908  chpidmat  22909  chfacfscmulcl  22919  chfacfscmul0  22920  chfacfscmulgsum  22922  cpmadugsumlemB  22936  cpmadugsumlemC  22937  cpmadugsumlemF  22938  cpmadugsumfi  22939  cpmidgsum2  22941  deg1pw  26183  ply1remlem  26227  fta1blem  26233  idomrootle  26235  plypf1  26274  lgsqrlem2  27413  lgsqrlem3  27414  lgsqrlem4  27415  evls1monply1  33777  ply1coedeg  33787  coe1vr1  33789  deg1vr  33790  gsummoncoe1fzo  33795  vietadeg1  33877  vietalem  33878  ply1degltdimlem  33921  ply1degltdim  33922  extdgfialglem2  33992  algextdeglem4  34019  rtelextdg2lem  34025  2sqr3minply  34079  cos9thpiminplylem6  34086  cos9thpiminply  34087  aks6d1c1p2  42731  aks6d1c1p3  42732  aks6d1c1p7  42735  aks6d1c1  42738  aks6d1c2lem4  42749  aks6d1c5lem0  42757  aks6d1c5lem3  42759  aks6d1c5  42761  aks6d1c6lem1  42792  aks5lem2  42809  aks5lem3a  42811  aks5lem5a  42813  hbtlem4  43708  ply1vr1smo  49010  ply1mulgsumlem4  49016  ply1mulgsum  49017  linply1  49020