Theorem vr1cl 22345

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22320	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22323	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8625	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 23	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8488	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 22109	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2873	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ωcom 7861  1_oc1o 8445  Basecbs 17268  Ringcrg 20314   mVar cmvr 22023   mPoly cmpl 22024  var₁cv1 22304  Poly₁cpl1 22305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-tset 17328  df-ple 17329  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-psr 22027  df-mvr 22028  df-mpl 22029  df-opsr 22031  df-psr1 22308  df-vr1 22309  df-ply1 22310

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22400  coe1pwmul  22408  ply1scltm  22410  ply1idvr1  22423  ply1coefsupp  22425  ply1coe  22426  gsummoncoe1  22436  lply1binom  22438  ply1fermltlchr  22440  evls1varpw  22455  evl1var  22464  evl1vard  22465  evls1var  22466  pf1id  22475  evl1scvarpw  22491  evl1scvarpwval  22492  evl1gsummon  22493  evls1varpwval  22496  evls1fpws  22497  rhmply1vr1  22512  rhmply1mon  22514  pmatcollpwscmatlem1  22914  mply1topmatcllem  22928  mply1topmatcl  22930  pm2mpghm  22941  monmat2matmon  22949  pm2mp  22950  chmatcl  22953  chmatval  22954  chpmat0d  22959  chpmat1dlem  22960  chpmat1d  22961  chpdmatlem0  22962  chpdmatlem2  22964  chpdmatlem3  22965  chpscmat  22967  chpscmatgsumbin  22969  chpscmatgsummon  22970  chp0mat  22971  chpidmat  22972  chfacfscmulcl  22982  chfacfscmul0  22983  chfacfscmulgsum  22985  cpmadugsumlemB  22999  cpmadugsumlemC  23000  cpmadugsumlemF  23001  cpmadugsumfi  23002  cpmidgsum2  23004  deg1pw  26246  ply1remlem  26290  fta1blem  26296  idomrootle  26298  plypf1  26337  lgsqrlem2  27476  lgsqrlem3  27477  lgsqrlem4  27478  evls1monply1  33813  ply1coedeg  33823  coe1vr1  33825  deg1vr  33826  gsummoncoe1fzo  33831  vietadeg1  33912  vietalem  33913  ply1degltdimlem  33956  ply1degltdim  33957  extdgfialglem2  34027  algextdeglem4  34054  rtelextdg2lem  34060  2sqr3minply  34114  cos9thpiminplylem6  34121  cos9thpiminply  34122  aks6d1c1p2  42765  aks6d1c1p3  42766  aks6d1c1p7  42769  aks6d1c1  42772  aks6d1c2lem4  42783  aks6d1c5lem0  42791  aks6d1c5lem3  42793  aks6d1c5  42795  aks6d1c6lem1  42826  aks5lem2  42843  aks5lem3a  42845  aks5lem5a  42847  hbtlem4  43744  ply1vr1smo  49047  ply1mulgsumlem4  49053  ply1mulgsum  49054  linply1  49057