Theorem vr1cl 22432

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22407	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22410	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8633	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 23	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8496	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 22196	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2869	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4286  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ωcom 7869  1_oc1o 8453  Basecbs 17296  Ringcrg 20364   mVar cmvr 22110   mPoly cmpl 22111  var₁cv1 22391  Poly₁cpl1 22392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-fz 13557  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-tset 17356  df-ple 17357  df-0g 17521  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-grp 19052  df-mgp 20266  df-ur 20313  df-ring 20366  df-psr 22114  df-mvr 22115  df-mpl 22116  df-opsr 22118  df-psr1 22395  df-vr1 22396  df-ply1 22397

This theorem is used by:  ply1moncl  22487  coe1pwmul  22495  ply1scltm  22497  ply1idvr1  22510  ply1coefsupp  22512  ply1coe  22513  gsummoncoe1  22523  lply1binom  22525  ply1fermltlchr  22527  evls1varpw  22542  evl1var  22551  evl1vard  22552  evls1var  22553  pf1id  22562  evl1scvarpw  22578  evl1scvarpwval  22579  evl1gsummon  22580  evls1varpwval  22583  evls1fpws  22584  rhmply1vr1  22599  rhmply1mon  22601  pmatcollpwscmatlem1  23001  mply1topmatcllem  23015  mply1topmatcl  23017  pm2mpghm  23028  monmat2matmon  23036  pm2mp  23037  chmatcl  23040  chmatval  23041  chpmat0d  23046  chpmat1dlem  23047  chpmat1d  23048  chpdmatlem0  23049  chpdmatlem2  23051  chpdmatlem3  23052  chpscmat  23054  chpscmatgsumbin  23056  chpscmatgsummon  23057  chp0mat  23058  chpidmat  23059  chfacfscmulcl  23069  chfacfscmul0  23070  chfacfscmulgsum  23072  cpmadugsumlemB  23086  cpmadugsumlemC  23087  cpmadugsumlemF  23088  cpmadugsumfi  23089  cpmidgsum2  23091  deg1pw  26334  ply1remlem  26378  fta1blem  26384  idomrootle  26386  plypf1  26425  lgsqrlem2  27567  lgsqrlem3  27568  lgsqrlem4  27569  evls1monply1  33938  ply1coedeg  33948  coe1vr1  33950  deg1vr  33951  gsummoncoe1fzo  33956  vietadeg1  34037  vietalem  34038  ply1degltdimlem  34081  ply1degltdim  34082  extdgfialglem2  34152  algextdeglem4  34179  rtelextdg2lem  34185  2sqr3minply  34239  cos9thpiminplylem6  34246  cos9thpiminply  34247  aks6d1c1p2  42939  aks6d1c1p3  42940  aks6d1c1p7  42943  aks6d1c1  42946  aks6d1c2lem4  42957  aks6d1c5lem0  42965  aks6d1c5lem3  42967  aks6d1c5  42969  aks6d1c6lem1  43000  aks5lem2  43017  aks5lem3a  43019  aks5lem5a  43021  hbtlem4  43931  ply1vr1smo  49240  ply1mulgsumlem4  49246  ply1mulgsum  49247  linply1  49250