Theorem vr1cl 22100

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22074	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22077	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8558	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8422	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 21899	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4284  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ωcom 7799  1_oc1o 8381  Basecbs 17120  Ringcrg 20118   mVar cmvr 21812   mPoly cmpl 21813  var₁cv1 22058  Poly₁cpl1 22059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-tset 17180  df-ple 17181  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-psr 21816  df-mvr 21817  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-psr1 22062  df-vr1 22063  df-ply1 22064

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22155  coe1pwmul  22163  ply1scltm  22165  ply1idvr1  22179  ply1coefsupp  22182  ply1coe  22183  gsummoncoe1  22193  lply1binom  22195  ply1fermltlchr  22197  evls1varpw  22212  evl1var  22221  evl1vard  22222  evls1var  22223  pf1id  22232  evl1scvarpw  22248  evl1scvarpwval  22249  evl1gsummon  22250  evls1varpwval  22253  evls1fpws  22254  rhmply1vr1  22272  rhmply1mon  22274  pmatcollpwscmatlem1  22674  mply1topmatcllem  22688  mply1topmatcl  22690  pm2mpghm  22701  monmat2matmon  22709  pm2mp  22710  chmatcl  22713  chmatval  22714  chpmat0d  22719  chpmat1dlem  22720  chpmat1d  22721  chpdmatlem0  22722  chpdmatlem2  22724  chpdmatlem3  22725  chpscmat  22727  chpscmatgsumbin  22729  chpscmatgsummon  22730  chp0mat  22731  chpidmat  22732  chfacfscmulcl  22742  chfacfscmul0  22743  chfacfscmulgsum  22745  cpmadugsumlemB  22759  cpmadugsumlemC  22760  cpmadugsumlemF  22761  cpmadugsumfi  22762  cpmidgsum2  22764  deg1pw  26024  ply1remlem  26068  fta1blem  26074  idomrootle  26076  plypf1  26115  lgsqrlem2  27256  lgsqrlem3  27257  lgsqrlem4  27258  evls1monply1  33515  coe1vr1  33525  deg1vr  33526  gsummoncoe1fzo  33531  ply1degltdimlem  33595  ply1degltdim  33596  extdgfialglem2  33666  algextdeglem4  33693  rtelextdg2lem  33699  2sqr3minply  33753  cos9thpiminplylem6  33760  cos9thpiminply  33761  aks6d1c1p2  42092  aks6d1c1p3  42093  aks6d1c1p7  42096  aks6d1c1  42099  aks6d1c2lem4  42110  aks6d1c5lem0  42118  aks6d1c5lem3  42120  aks6d1c5  42122  aks6d1c6lem1  42153  aks5lem2  42170  aks5lem3a  42172  aks5lem5a  42174  hbtlem4  43109  ply1vr1smo  48377  ply1mulgsumlem4  48384  ply1mulgsum  48385  linply1  48388