Theorem vr1cl 22135

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22109	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22112	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8581	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8445	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 21934	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ωcom 7822  1_oc1o 8404  Basecbs 17155  Ringcrg 20153   mVar cmvr 21847   mPoly cmpl 21848  var₁cv1 22093  Poly₁cpl1 22094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-ple 17216  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-psr 21851  df-mvr 21852  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-psr1 22097  df-vr1 22098  df-ply1 22099

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22190  coe1pwmul  22198  ply1scltm  22200  ply1idvr1  22214  ply1coefsupp  22217  ply1coe  22218  gsummoncoe1  22228  lply1binom  22230  ply1fermltlchr  22232  evls1varpw  22247  evl1var  22256  evl1vard  22257  evls1var  22258  pf1id  22267  evl1scvarpw  22283  evl1scvarpwval  22284  evl1gsummon  22285  evls1varpwval  22288  evls1fpws  22289  rhmply1vr1  22307  rhmply1mon  22309  pmatcollpwscmatlem1  22709  mply1topmatcllem  22723  mply1topmatcl  22725  pm2mpghm  22736  monmat2matmon  22744  pm2mp  22745  chmatcl  22748  chmatval  22749  chpmat0d  22754  chpmat1dlem  22755  chpmat1d  22756  chpdmatlem0  22757  chpdmatlem2  22759  chpdmatlem3  22760  chpscmat  22762  chpscmatgsumbin  22764  chpscmatgsummon  22765  chp0mat  22766  chpidmat  22767  chfacfscmulcl  22777  chfacfscmul0  22778  chfacfscmulgsum  22780  cpmadugsumlemB  22794  cpmadugsumlemC  22795  cpmadugsumlemF  22796  cpmadugsumfi  22797  cpmidgsum2  22799  deg1pw  26059  ply1remlem  26103  fta1blem  26109  idomrootle  26111  plypf1  26150  lgsqrlem2  27291  lgsqrlem3  27292  lgsqrlem4  27293  coe1vr1  33550  deg1vr  33551  gsummoncoe1fzo  33556  ply1degltdimlem  33611  ply1degltdim  33612  algextdeglem4  33703  rtelextdg2lem  33709  2sqr3minply  33763  cos9thpiminplylem6  33770  cos9thpiminply  33771  aks6d1c1p2  42090  aks6d1c1p3  42091  aks6d1c1p7  42094  aks6d1c1  42097  aks6d1c2lem4  42108  aks6d1c5lem0  42116  aks6d1c5lem3  42118  aks6d1c5  42120  aks6d1c6lem1  42151  aks5lem2  42168  aks5lem3a  42170  aks5lem5a  42172  hbtlem4  43108  ply1vr1smo  48364  ply1mulgsumlem4  48371  ply1mulgsum  48372  linply1  48375