Theorem vr1cl 22156

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22130	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22133	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8566	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8429	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 21945	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4283  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ωcom 7806  1_oc1o 8388  Basecbs 17134  Ringcrg 20166   mVar cmvr 21859   mPoly cmpl 21860  var₁cv1 22114  Poly₁cpl1 22115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-tset 17194  df-ple 17195  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-psr 21863  df-mvr 21864  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-psr1 22118  df-vr1 22119  df-ply1 22120

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22211  coe1pwmul  22219  ply1scltm  22221  ply1idvr1  22236  ply1coefsupp  22239  ply1coe  22240  gsummoncoe1  22250  lply1binom  22252  ply1fermltlchr  22254  evls1varpw  22269  evl1var  22278  evl1vard  22279  evls1var  22280  pf1id  22289  evl1scvarpw  22305  evl1scvarpwval  22306  evl1gsummon  22307  evls1varpwval  22310  evls1fpws  22311  rhmply1vr1  22329  rhmply1mon  22331  pmatcollpwscmatlem1  22731  mply1topmatcllem  22745  mply1topmatcl  22747  pm2mpghm  22758  monmat2matmon  22766  pm2mp  22767  chmatcl  22770  chmatval  22771  chpmat0d  22776  chpmat1dlem  22777  chpmat1d  22778  chpdmatlem0  22779  chpdmatlem2  22781  chpdmatlem3  22782  chpscmat  22784  chpscmatgsumbin  22786  chpscmatgsummon  22787  chp0mat  22788  chpidmat  22789  chfacfscmulcl  22799  chfacfscmul0  22800  chfacfscmulgsum  22802  cpmadugsumlemB  22816  cpmadugsumlemC  22817  cpmadugsumlemF  22818  cpmadugsumfi  22819  cpmidgsum2  22821  deg1pw  26080  ply1remlem  26124  fta1blem  26130  idomrootle  26132  plypf1  26171  lgsqrlem2  27312  lgsqrlem3  27313  lgsqrlem4  27314  evls1monply1  33609  ply1coedeg  33619  coe1vr1  33621  deg1vr  33622  gsummoncoe1fzo  33627  vietadeg1  33683  vietalem  33684  ply1degltdimlem  33728  ply1degltdim  33729  extdgfialglem2  33799  algextdeglem4  33826  rtelextdg2lem  33832  2sqr3minply  33886  cos9thpiminplylem6  33893  cos9thpiminply  33894  aks6d1c1p2  42302  aks6d1c1p3  42303  aks6d1c1p7  42306  aks6d1c1  42309  aks6d1c2lem4  42320  aks6d1c5lem0  42328  aks6d1c5lem3  42330  aks6d1c5  42332  aks6d1c6lem1  42363  aks5lem2  42380  aks5lem3a  42382  aks5lem5a  42384  hbtlem4  43310  ply1vr1smo  48571  ply1mulgsumlem4  48577  ply1mulgsum  48578  linply1  48581