Theorem vr1cl 22195

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22169	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22172	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8571	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8434	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 21984	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ωcom 7812  1_oc1o 8393  Basecbs 17174  Ringcrg 20209   mVar cmvr 21899   mPoly cmpl 21900  var₁cv1 22153  Poly₁cpl1 22154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-tset 17234  df-ple 17235  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-psr 21903  df-mvr 21904  df-mpl 21905  df-opsr 21907  df-psr1 22157  df-vr1 22158  df-ply1 22159

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22250  coe1pwmul  22258  ply1scltm  22260  ply1idvr1  22273  ply1coefsupp  22276  ply1coe  22277  gsummoncoe1  22287  lply1binom  22289  ply1fermltlchr  22291  evls1varpw  22306  evl1var  22315  evl1vard  22316  evls1var  22317  pf1id  22326  evl1scvarpw  22342  evl1scvarpwval  22343  evl1gsummon  22344  evls1varpwval  22347  evls1fpws  22348  rhmply1vr1  22366  rhmply1mon  22368  pmatcollpwscmatlem1  22768  mply1topmatcllem  22782  mply1topmatcl  22784  pm2mpghm  22795  monmat2matmon  22803  pm2mp  22804  chmatcl  22807  chmatval  22808  chpmat0d  22813  chpmat1dlem  22814  chpmat1d  22815  chpdmatlem0  22816  chpdmatlem2  22818  chpdmatlem3  22819  chpscmat  22821  chpscmatgsumbin  22823  chpscmatgsummon  22824  chp0mat  22825  chpidmat  22826  chfacfscmulcl  22836  chfacfscmul0  22837  chfacfscmulgsum  22839  cpmadugsumlemB  22853  cpmadugsumlemC  22854  cpmadugsumlemF  22855  cpmadugsumfi  22856  cpmidgsum2  22858  deg1pw  26100  ply1remlem  26144  fta1blem  26150  idomrootle  26152  plypf1  26191  lgsqrlem2  27328  lgsqrlem3  27329  lgsqrlem4  27330  evls1monply1  33658  ply1coedeg  33668  coe1vr1  33670  deg1vr  33671  gsummoncoe1fzo  33676  vietadeg1  33741  vietalem  33742  ply1degltdimlem  33786  ply1degltdim  33787  extdgfialglem2  33857  algextdeglem4  33884  rtelextdg2lem  33890  2sqr3minply  33944  cos9thpiminplylem6  33951  cos9thpiminply  33952  aks6d1c1p2  42566  aks6d1c1p3  42567  aks6d1c1p7  42570  aks6d1c1  42573  aks6d1c2lem4  42584  aks6d1c5lem0  42592  aks6d1c5lem3  42594  aks6d1c5  42596  aks6d1c6lem1  42627  aks5lem2  42644  aks5lem3a  42646  aks5lem5a  42648  hbtlem4  43576  ply1vr1smo  48875  ply1mulgsumlem4  48881  ply1mulgsum  48882  linply1  48885