Theorem vr1cl 21741

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 21716	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	5, 6, 7	ply1bas 21719	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
9		1onn 8639	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
11		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12		0lt1o 8504	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
14	3, 4, 8, 10, 11, 13	mvrcl 21551	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
15	2, 14	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∅c0 4323  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ωcom 7855  1_oc1o 8459  Basecbs 17144  Ringcrg 20056   mVar cmvr 21458   mPoly cmpl 21459  PwSer₁cps1 21699  var₁cv1 21700  Poly₁cpl1 21701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-ple 17217  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-vr1 21705  df-ply1 21706

This theorem is referenced by:  ply1moncl  21793  coe1pwmul  21801  ply1scltm  21803  ply1coefsupp  21819  ply1coe  21820  gsummoncoe1  21828  lply1binom  21830  evls1varpw  21846  evl1var  21855  evl1vard  21856  evls1var  21857  pf1id  21866  evl1scvarpw  21882  evl1scvarpwval  21883  evl1gsummon  21884  pmatcollpwscmatlem1  22291  mply1topmatcllem  22305  mply1topmatcl  22307  pm2mpghm  22318  monmat2matmon  22326  pm2mp  22327  chmatcl  22330  chmatval  22331  chpmat0d  22336  chpmat1dlem  22337  chpmat1d  22338  chpdmatlem0  22339  chpdmatlem2  22341  chpdmatlem3  22342  chpscmat  22344  chpscmatgsumbin  22346  chpscmatgsummon  22347  chp0mat  22348  chpidmat  22349  chfacfscmulcl  22359  chfacfscmul0  22360  chfacfscmulgsum  22362  cpmadugsumlemB  22376  cpmadugsumlemC  22377  cpmadugsumlemF  22378  cpmadugsumfi  22379  cpmidgsum2  22381  deg1pw  25638  ply1remlem  25680  fta1blem  25686  plypf1  25726  lgsqrlem2  26850  lgsqrlem3  26851  lgsqrlem4  26852  evls1varpwval  32645  evls1fpws  32646  ply1fermltlchr  32662  gsummoncoe1fzo  32668  ply1degltdimlem  32707  ply1degltdim  32708  algextdeglem1  32772  hbtlem4  41868  idomrootle  41937  ply1vr1smo  47062  ply1mulgsumlem4  47070  ply1mulgsum  47071  linply1  47074