Theorem vr1cl 21625

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 21600	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	5, 6, 7	ply1bas 21603	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
9		1onn 8591	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
11		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12		0lt1o 8455	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
14	3, 4, 8, 10, 11, 13	mvrcl 21458	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
15	2, 14	eqeltrid 2836	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4287  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ωcom 7807  1_oc1o 8410  Basecbs 17094  Ringcrg 19978   mVar cmvr 21344   mPoly cmpl 21345  PwSer₁cps1 21583  var₁cv1 21584  Poly₁cpl1 21585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-fz 13435  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-tset 17166  df-ple 17167  df-0g 17337  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-grp 18765  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980  df-psr 21348  df-mvr 21349  df-mpl 21350  df-opsr 21352  df-psr1 21588  df-vr1 21589  df-ply1 21590

This theorem is referenced by:  ply1moncl  21679  coe1pwmul  21687  ply1scltm  21689  ply1coefsupp  21703  ply1coe  21704  gsummoncoe1  21712  lply1binom  21714  evls1varpw  21730  evl1var  21739  evl1vard  21740  evls1var  21741  pf1id  21750  evl1scvarpw  21766  evl1scvarpwval  21767  evl1gsummon  21768  pmatcollpwscmatlem1  22175  mply1topmatcllem  22189  mply1topmatcl  22191  pm2mpghm  22202  monmat2matmon  22210  pm2mp  22211  chmatcl  22214  chmatval  22215  chpmat0d  22220  chpmat1dlem  22221  chpmat1d  22222  chpdmatlem0  22223  chpdmatlem2  22225  chpdmatlem3  22226  chpscmat  22228  chpscmatgsumbin  22230  chpscmatgsummon  22231  chp0mat  22232  chpidmat  22233  chfacfscmulcl  22243  chfacfscmul0  22244  chfacfscmulgsum  22246  cpmadugsumlemB  22260  cpmadugsumlemC  22261  cpmadugsumlemF  22262  cpmadugsumfi  22263  cpmidgsum2  22265  deg1pw  25522  ply1remlem  25564  fta1blem  25570  plypf1  25610  lgsqrlem2  26732  lgsqrlem3  26733  lgsqrlem4  26734  evls1varpwval  32347  evls1fpws  32348  ply1fermltlchr  32361  gsummoncoe1fzo  32367  ply1degltdimlem  32404  ply1degltdim  32405  hbtlem4  41511  idomrootle  41580  ply1vr1smo  46582  ply1mulgsumlem4  46590  ply1mulgsum  46591  linply1  46594