Theorem vr1cl 22102

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22076	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22079	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8604	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8468	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 21901	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4296  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ωcom 7842  1_oc1o 8427  Basecbs 17179  Ringcrg 20142   mVar cmvr 21814   mPoly cmpl 21815  var₁cv1 22060  Poly₁cpl1 22061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-ple 17240  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22157  coe1pwmul  22165  ply1scltm  22167  ply1idvr1  22181  ply1coefsupp  22184  ply1coe  22185  gsummoncoe1  22195  lply1binom  22197  ply1fermltlchr  22199  evls1varpw  22214  evl1var  22223  evl1vard  22224  evls1var  22225  pf1id  22234  evl1scvarpw  22250  evl1scvarpwval  22251  evl1gsummon  22252  evls1varpwval  22255  evls1fpws  22256  rhmply1vr1  22274  rhmply1mon  22276  pmatcollpwscmatlem1  22676  mply1topmatcllem  22690  mply1topmatcl  22692  pm2mpghm  22703  monmat2matmon  22711  pm2mp  22712  chmatcl  22715  chmatval  22716  chpmat0d  22721  chpmat1dlem  22722  chpmat1d  22723  chpdmatlem0  22724  chpdmatlem2  22726  chpdmatlem3  22727  chpscmat  22729  chpscmatgsumbin  22731  chpscmatgsummon  22732  chp0mat  22733  chpidmat  22734  chfacfscmulcl  22744  chfacfscmul0  22745  chfacfscmulgsum  22747  cpmadugsumlemB  22761  cpmadugsumlemC  22762  cpmadugsumlemF  22763  cpmadugsumfi  22764  cpmidgsum2  22766  deg1pw  26026  ply1remlem  26070  fta1blem  26076  idomrootle  26078  plypf1  26117  lgsqrlem2  27258  lgsqrlem3  27259  lgsqrlem4  27260  coe1vr1  33557  deg1vr  33558  gsummoncoe1fzo  33563  ply1degltdimlem  33618  ply1degltdim  33619  algextdeglem4  33710  rtelextdg2lem  33716  2sqr3minply  33770  cos9thpiminplylem6  33777  cos9thpiminply  33778  aks6d1c1p2  42097  aks6d1c1p3  42098  aks6d1c1p7  42101  aks6d1c1  42104  aks6d1c2lem4  42115  aks6d1c5lem0  42123  aks6d1c5lem3  42125  aks6d1c5  42127  aks6d1c6lem1  42158  aks5lem2  42175  aks5lem3a  42177  aks5lem5a  42179  hbtlem4  43115  ply1vr1smo  48371  ply1mulgsumlem4  48378  ply1mulgsum  48379  linply1  48382