Theorem vr1cl 22550

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22525	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22528	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8663	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 23	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8526	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 22314	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2868	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∅c0 4281  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ωcom 7887  1_oc1o 8483  Basecbs 17402  Ringcrg 20474   mVar cmvr 22228   mPoly cmpl 22229  var₁cv1 22509  Poly₁cpl1 22510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-tset 17462  df-ple 17463  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-mgp 20376  df-ur 20423  df-ring 20476  df-psr 22232  df-mvr 22233  df-mpl 22234  df-opsr 22236  df-psr1 22513  df-vr1 22514  df-ply1 22515

This theorem is used by:  ply1moncl  22605  coe1pwmul  22613  ply1scltm  22615  ply1idvr1  22628  ply1coefsupp  22630  ply1coe  22631  gsummoncoe1  22641  lply1binom  22643  ply1fermltlchr  22645  evls1varpw  22660  evl1var  22669  evl1vard  22670  evls1var  22671  pf1id  22680  evl1scvarpw  22696  evl1scvarpwval  22697  evl1gsummon  22698  evls1varpwval  22701  evls1fpws  22702  rhmply1vr1  22717  rhmply1mon  22719  pmatcollpwscmatlem1  23122  mply1topmatcllem  23136  mply1topmatcl  23138  pm2mpghm  23149  monmat2matmon  23157  pm2mp  23158  chmatcl  23161  chmatval  23162  chpmat0d  23167  chpmat1dlem  23168  chpmat1d  23169  chpdmatlem0  23170  chpdmatlem2  23172  chpdmatlem3  23173  chpscmat  23175  chpscmatgsumbin  23177  chpscmatgsummon  23178  chp0mat  23179  chpidmat  23180  chfacfscmulcl  23190  chfacfscmul0  23191  chfacfscmulgsum  23193  cpmadugsumlemB  23207  cpmadugsumlemC  23208  cpmadugsumlemF  23209  cpmadugsumfi  23210  cpmidgsum2  23212  deg1pw  26454  ply1remlem  26498  fta1blem  26504  idomrootle  26506  plypf1  26546  lgsqrlem2  27689  lgsqrlem3  27690  lgsqrlem4  27691  evls1monply1  34167  ply1coedeg  34177  coe1vr1  34179  deg1vr  34180  gsummoncoe1fzo  34185  vietadeg1  34266  vietalem  34267  ply1degltdimlem  34310  ply1degltdim  34311  extdgfialglem2  34381  algextdeglem4  34408  rtelextdg2lem  34414  2sqr3minply  34468  cos9thpiminplylem6  34475  cos9thpiminply  34476  aks6d1c1p2  43305  aks6d1c1p3  43306  aks6d1c1p7  43309  aks6d1c1  43312  aks6d1c2lem4  43323  aks6d1c5lem0  43331  aks6d1c5lem3  43333  aks6d1c5  43335  aks6d1c6lem1  43366  aks5lem2  43383  aks5lem3a  43385  aks5lem5a  43387  hbtlem4  44274  ply1vr1smo  49640  ply1mulgsumlem4  49646  ply1mulgsum  49647  linply1  49650