Theorem vr1cl 22219

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22193	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22196	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8678	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8542	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 22012	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2845	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1_oc1o 8499  Basecbs 17247  Ringcrg 20230   mVar cmvr 21925   mPoly cmpl 21926  var₁cv1 22177  Poly₁cpl1 22178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22274  coe1pwmul  22282  ply1scltm  22284  ply1idvr1  22298  ply1coefsupp  22301  ply1coe  22302  gsummoncoe1  22312  lply1binom  22314  ply1fermltlchr  22316  evls1varpw  22331  evl1var  22340  evl1vard  22341  evls1var  22342  pf1id  22351  evl1scvarpw  22367  evl1scvarpwval  22368  evl1gsummon  22369  evls1varpwval  22372  evls1fpws  22373  rhmply1vr1  22391  rhmply1mon  22393  pmatcollpwscmatlem1  22795  mply1topmatcllem  22809  mply1topmatcl  22811  pm2mpghm  22822  monmat2matmon  22830  pm2mp  22831  chmatcl  22834  chmatval  22835  chpmat0d  22840  chpmat1dlem  22841  chpmat1d  22842  chpdmatlem0  22843  chpdmatlem2  22845  chpdmatlem3  22846  chpscmat  22848  chpscmatgsumbin  22850  chpscmatgsummon  22851  chp0mat  22852  chpidmat  22853  chfacfscmulcl  22863  chfacfscmul0  22864  chfacfscmulgsum  22866  cpmadugsumlemB  22880  cpmadugsumlemC  22881  cpmadugsumlemF  22882  cpmadugsumfi  22883  cpmidgsum2  22885  deg1pw  26160  ply1remlem  26204  fta1blem  26210  idomrootle  26212  plypf1  26251  lgsqrlem2  27391  lgsqrlem3  27392  lgsqrlem4  27393  coe1vr1  33613  deg1vr  33614  gsummoncoe1fzo  33618  ply1degltdimlem  33673  ply1degltdim  33674  algextdeglem4  33761  rtelextdg2lem  33767  2sqr3minply  33791  aks6d1c1p2  42110  aks6d1c1p3  42111  aks6d1c1p7  42114  aks6d1c1  42117  aks6d1c2lem4  42128  aks6d1c5lem0  42136  aks6d1c5lem3  42138  aks6d1c5  42140  aks6d1c6lem1  42171  aks5lem2  42188  aks5lem3a  42190  aks5lem5a  42192  hbtlem4  43138  ply1vr1smo  48299  ply1mulgsumlem4  48306  ply1mulgsum  48307  linply1  48310