Theorem vr1cl 22346

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22321	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22324	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8626	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 23	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8489	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 22110	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2873	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ωcom 7862  1_oc1o 8446  Basecbs 17269  Ringcrg 20315   mVar cmvr 22024   mPoly cmpl 22025  var₁cv1 22305  Poly₁cpl1 22306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-tset 17329  df-ple 17330  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22401  coe1pwmul  22409  ply1scltm  22411  ply1idvr1  22424  ply1coefsupp  22426  ply1coe  22427  gsummoncoe1  22437  lply1binom  22439  ply1fermltlchr  22441  evls1varpw  22456  evl1var  22465  evl1vard  22466  evls1var  22467  pf1id  22476  evl1scvarpw  22492  evl1scvarpwval  22493  evl1gsummon  22494  evls1varpwval  22497  evls1fpws  22498  rhmply1vr1  22513  rhmply1mon  22515  pmatcollpwscmatlem1  22915  mply1topmatcllem  22929  mply1topmatcl  22931  pm2mpghm  22942  monmat2matmon  22950  pm2mp  22951  chmatcl  22954  chmatval  22955  chpmat0d  22960  chpmat1dlem  22961  chpmat1d  22962  chpdmatlem0  22963  chpdmatlem2  22965  chpdmatlem3  22966  chpscmat  22968  chpscmatgsumbin  22970  chpscmatgsummon  22971  chp0mat  22972  chpidmat  22973  chfacfscmulcl  22983  chfacfscmul0  22984  chfacfscmulgsum  22986  cpmadugsumlemB  23000  cpmadugsumlemC  23001  cpmadugsumlemF  23002  cpmadugsumfi  23003  cpmidgsum2  23005  deg1pw  26247  ply1remlem  26291  fta1blem  26297  idomrootle  26299  plypf1  26338  lgsqrlem2  27477  lgsqrlem3  27478  lgsqrlem4  27479  evls1monply1  33814  ply1coedeg  33824  coe1vr1  33826  deg1vr  33827  gsummoncoe1fzo  33832  vietadeg1  33913  vietalem  33914  ply1degltdimlem  33957  ply1degltdim  33958  extdgfialglem2  34028  algextdeglem4  34055  rtelextdg2lem  34061  2sqr3minply  34115  cos9thpiminplylem6  34122  cos9thpiminply  34123  aks6d1c1p2  42800  aks6d1c1p3  42801  aks6d1c1p7  42804  aks6d1c1  42807  aks6d1c2lem4  42818  aks6d1c5lem0  42826  aks6d1c5lem3  42828  aks6d1c5  42830  aks6d1c6lem1  42861  aks5lem2  42878  aks5lem3a  42880  aks5lem5a  42882  hbtlem4  43779  ply1vr1smo  49082  ply1mulgsumlem4  49088  ply1mulgsum  49089  linply1  49092