Theorem vr1cl 22109

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22083	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22086	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8607	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8471	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 21908	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4299  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ωcom 7845  1_oc1o 8430  Basecbs 17186  Ringcrg 20149   mVar cmvr 21821   mPoly cmpl 21822  var₁cv1 22067  Poly₁cpl1 22068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-tset 17246  df-ple 17247  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22164  coe1pwmul  22172  ply1scltm  22174  ply1idvr1  22188  ply1coefsupp  22191  ply1coe  22192  gsummoncoe1  22202  lply1binom  22204  ply1fermltlchr  22206  evls1varpw  22221  evl1var  22230  evl1vard  22231  evls1var  22232  pf1id  22241  evl1scvarpw  22257  evl1scvarpwval  22258  evl1gsummon  22259  evls1varpwval  22262  evls1fpws  22263  rhmply1vr1  22281  rhmply1mon  22283  pmatcollpwscmatlem1  22683  mply1topmatcllem  22697  mply1topmatcl  22699  pm2mpghm  22710  monmat2matmon  22718  pm2mp  22719  chmatcl  22722  chmatval  22723  chpmat0d  22728  chpmat1dlem  22729  chpmat1d  22730  chpdmatlem0  22731  chpdmatlem2  22733  chpdmatlem3  22734  chpscmat  22736  chpscmatgsumbin  22738  chpscmatgsummon  22739  chp0mat  22740  chpidmat  22741  chfacfscmulcl  22751  chfacfscmul0  22752  chfacfscmulgsum  22754  cpmadugsumlemB  22768  cpmadugsumlemC  22769  cpmadugsumlemF  22770  cpmadugsumfi  22771  cpmidgsum2  22773  deg1pw  26033  ply1remlem  26077  fta1blem  26083  idomrootle  26085  plypf1  26124  lgsqrlem2  27265  lgsqrlem3  27266  lgsqrlem4  27267  coe1vr1  33564  deg1vr  33565  gsummoncoe1fzo  33570  ply1degltdimlem  33625  ply1degltdim  33626  algextdeglem4  33717  rtelextdg2lem  33723  2sqr3minply  33777  cos9thpiminplylem6  33784  cos9thpiminply  33785  aks6d1c1p2  42104  aks6d1c1p3  42105  aks6d1c1p7  42108  aks6d1c1  42111  aks6d1c2lem4  42122  aks6d1c5lem0  42130  aks6d1c5lem3  42132  aks6d1c5  42134  aks6d1c6lem1  42165  aks5lem2  42182  aks5lem3a  42184  aks5lem5a  42186  hbtlem4  43122  ply1vr1smo  48375  ply1mulgsumlem4  48382  ply1mulgsum  48383  linply1  48386