Theorem vr1cl 22175

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22149	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22152	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8580	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8443	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 21964	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ωcom 7820  1_oc1o 8402  Basecbs 17150  Ringcrg 20185   mVar cmvr 21878   mPoly cmpl 21879  var₁cv1 22133  Poly₁cpl1 22134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-tset 17210  df-ple 17211  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-grp 18883  df-mgp 20093  df-ur 20134  df-ring 20187  df-psr 21882  df-mvr 21883  df-mpl 21884  df-opsr 21886  df-psr1 22137  df-vr1 22138  df-ply1 22139

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22230  coe1pwmul  22238  ply1scltm  22240  ply1idvr1  22255  ply1coefsupp  22258  ply1coe  22259  gsummoncoe1  22269  lply1binom  22271  ply1fermltlchr  22273  evls1varpw  22288  evl1var  22297  evl1vard  22298  evls1var  22299  pf1id  22308  evl1scvarpw  22324  evl1scvarpwval  22325  evl1gsummon  22326  evls1varpwval  22329  evls1fpws  22330  rhmply1vr1  22348  rhmply1mon  22350  pmatcollpwscmatlem1  22750  mply1topmatcllem  22764  mply1topmatcl  22766  pm2mpghm  22777  monmat2matmon  22785  pm2mp  22786  chmatcl  22789  chmatval  22790  chpmat0d  22795  chpmat1dlem  22796  chpmat1d  22797  chpdmatlem0  22798  chpdmatlem2  22800  chpdmatlem3  22801  chpscmat  22803  chpscmatgsumbin  22805  chpscmatgsummon  22806  chp0mat  22807  chpidmat  22808  chfacfscmulcl  22818  chfacfscmul0  22819  chfacfscmulgsum  22821  cpmadugsumlemB  22835  cpmadugsumlemC  22836  cpmadugsumlemF  22837  cpmadugsumfi  22838  cpmidgsum2  22840  deg1pw  26099  ply1remlem  26143  fta1blem  26149  idomrootle  26151  plypf1  26190  lgsqrlem2  27331  lgsqrlem3  27332  lgsqrlem4  27333  evls1monply1  33678  ply1coedeg  33688  coe1vr1  33690  deg1vr  33691  gsummoncoe1fzo  33696  vietadeg1  33761  vietalem  33762  ply1degltdimlem  33806  ply1degltdim  33807  extdgfialglem2  33877  algextdeglem4  33904  rtelextdg2lem  33910  2sqr3minply  33964  cos9thpiminplylem6  33971  cos9thpiminply  33972  aks6d1c1p2  42508  aks6d1c1p3  42509  aks6d1c1p7  42512  aks6d1c1  42515  aks6d1c2lem4  42526  aks6d1c5lem0  42534  aks6d1c5lem3  42536  aks6d1c5  42538  aks6d1c6lem1  42569  aks5lem2  42586  aks5lem3a  42588  aks5lem5a  42590  hbtlem4  43512  ply1vr1smo  48772  ply1mulgsumlem4  48778  ply1mulgsum  48779  linply1  48782