Theorem vr1cl 22240

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22214	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22217	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8696	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8560	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 22035	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2848	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903  1_oc1o 8515  Basecbs 17258  Ringcrg 20260   mVar cmvr 21948   mPoly cmpl 21949  var₁cv1 22198  Poly₁cpl1 22199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-ple 17331  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22295  coe1pwmul  22303  ply1scltm  22305  ply1idvr1  22319  ply1coefsupp  22322  ply1coe  22323  gsummoncoe1  22333  lply1binom  22335  ply1fermltlchr  22337  evls1varpw  22352  evl1var  22361  evl1vard  22362  evls1var  22363  pf1id  22372  evl1scvarpw  22388  evl1scvarpwval  22389  evl1gsummon  22390  evls1varpwval  22393  evls1fpws  22394  rhmply1vr1  22412  rhmply1mon  22414  pmatcollpwscmatlem1  22816  mply1topmatcllem  22830  mply1topmatcl  22832  pm2mpghm  22843  monmat2matmon  22851  pm2mp  22852  chmatcl  22855  chmatval  22856  chpmat0d  22861  chpmat1dlem  22862  chpmat1d  22863  chpdmatlem0  22864  chpdmatlem2  22866  chpdmatlem3  22867  chpscmat  22869  chpscmatgsumbin  22871  chpscmatgsummon  22872  chp0mat  22873  chpidmat  22874  chfacfscmulcl  22884  chfacfscmul0  22885  chfacfscmulgsum  22887  cpmadugsumlemB  22901  cpmadugsumlemC  22902  cpmadugsumlemF  22903  cpmadugsumfi  22904  cpmidgsum2  22906  deg1pw  26180  ply1remlem  26224  fta1blem  26230  idomrootle  26232  plypf1  26271  lgsqrlem2  27409  lgsqrlem3  27410  lgsqrlem4  27411  coe1vr1  33578  deg1vr  33579  gsummoncoe1fzo  33583  ply1degltdimlem  33635  ply1degltdim  33636  algextdeglem4  33711  rtelextdg2lem  33717  2sqr3minply  33738  aks6d1c1p2  42066  aks6d1c1p3  42067  aks6d1c1p7  42070  aks6d1c1  42073  aks6d1c2lem4  42084  aks6d1c5lem0  42092  aks6d1c5lem3  42094  aks6d1c5  42096  aks6d1c6lem1  42127  aks5lem2  42144  aks5lem3a  42146  aks5lem5a  42148  hbtlem4  43083  ply1vr1smo  48111  ply1mulgsumlem4  48118  ply1mulgsum  48119  linply1  48122