Theorem vr1cl 22181

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
vr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22155	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		vr1cl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		vr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	ply1bas 22158	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		1onn 8576	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ ω)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
11		0lt1o 8439	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
13	3, 4, 7, 9, 10, 12	mvrcl 21970	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
14	2, 13	eqeltrid 2840	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ωcom 7817  1_oc1o 8398  Basecbs 17179  Ringcrg 20214   mVar cmvr 21885   mPoly cmpl 21886  var₁cv1 22139  Poly₁cpl1 22140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-ple 17240  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145

This theorem is referenced by:  ply1moncl  22236  coe1pwmul  22244  ply1scltm  22246  ply1idvr1  22259  ply1coefsupp  22262  ply1coe  22263  gsummoncoe1  22273  lply1binom  22275  ply1fermltlchr  22277  evls1varpw  22292  evl1var  22301  evl1vard  22302  evls1var  22303  pf1id  22312  evl1scvarpw  22328  evl1scvarpwval  22329  evl1gsummon  22330  evls1varpwval  22333  evls1fpws  22334  rhmply1vr1  22352  rhmply1mon  22354  pmatcollpwscmatlem1  22754  mply1topmatcllem  22768  mply1topmatcl  22770  pm2mpghm  22781  monmat2matmon  22789  pm2mp  22790  chmatcl  22793  chmatval  22794  chpmat0d  22799  chpmat1dlem  22800  chpmat1d  22801  chpdmatlem0  22802  chpdmatlem2  22804  chpdmatlem3  22805  chpscmat  22807  chpscmatgsumbin  22809  chpscmatgsummon  22810  chp0mat  22811  chpidmat  22812  chfacfscmulcl  22822  chfacfscmul0  22823  chfacfscmulgsum  22825  cpmadugsumlemB  22839  cpmadugsumlemC  22840  cpmadugsumlemF  22841  cpmadugsumfi  22842  cpmidgsum2  22844  deg1pw  26086  ply1remlem  26130  fta1blem  26136  idomrootle  26138  plypf1  26177  lgsqrlem2  27310  lgsqrlem3  27311  lgsqrlem4  27312  evls1monply1  33639  ply1coedeg  33649  coe1vr1  33651  deg1vr  33652  gsummoncoe1fzo  33657  vietadeg1  33722  vietalem  33723  ply1degltdimlem  33766  ply1degltdim  33767  extdgfialglem2  33837  algextdeglem4  33864  rtelextdg2lem  33870  2sqr3minply  33924  cos9thpiminplylem6  33931  cos9thpiminply  33932  aks6d1c1p2  42548  aks6d1c1p3  42549  aks6d1c1p7  42552  aks6d1c1  42555  aks6d1c2lem4  42566  aks6d1c5lem0  42574  aks6d1c5lem3  42576  aks6d1c5  42578  aks6d1c6lem1  42609  aks5lem2  42626  aks5lem3a  42628  aks5lem5a  42630  hbtlem4  43554  ply1vr1smo  48859  ply1mulgsumlem4  48865  ply1mulgsum  48866  linply1  48869