MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1rinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1rinv 19493
Description: The inverse of the identity is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1rinv.1 𝐼 = (invr𝑅)
1rinv.2 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
1rinv (𝑅 ∈ Ring → (𝐼1 ) = 1 )

Proof of Theorem 1rinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2759 . . . . 5 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
2 1rinv.2 . . . . 5 1 = (1r𝑅)
31, 21unit 19472 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Unit‘𝑅))
4 1rinv.1 . . . . 5 𝐼 = (invr𝑅)
5 eqid 2759 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
61, 4, 5ringinvcl 19490 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼1 ) ∈ (Base‘𝑅))
73, 6mpdan 687 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝐼1 ) ∈ (Base‘𝑅))
8 eqid 2759 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
95, 8, 2ringlidm 19385 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼1 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r𝑅)(𝐼1 )) = (𝐼1 ))
107, 9mpdan 687 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ( 1 (.r𝑅)(𝐼1 )) = (𝐼1 ))
111, 4, 8, 2unitrinv 19492 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 1 (.r𝑅)(𝐼1 )) = 1 )
123, 11mpdan 687 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ( 1 (.r𝑅)(𝐼1 )) = 1 )
1310, 12eqtr3d 2796 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝐼1 ) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2112  cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16534  .rcmulr 16617  1rcur 19312  Ringcrg 19358  Unitcui 19453  invrcinvr 19485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-tpos 7903  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-0g 16766  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-grp 18165  df-minusg 18166  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-ring 19360  df-oppr 19437  df-dvdsr 19455  df-unit 19456  df-invr 19486
This theorem is referenced by:  dvr1  19503
  Copyright terms: Public domain W3C validator