MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvr1 19564
Description: A cancellation law for division. (div1 11410 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvr1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvr1.d / = (/r𝑅)
dvr1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvr1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 / 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem dvr1
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
2 eqid 2739 . . . 4 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 dvr1.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
42, 31unit 19533 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Unit‘𝑅))
5 dvr1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2739 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7 eqid 2739 . . . 4 (invr𝑅) = (invr𝑅)
8 dvr1.d . . . 4 / = (/r𝑅)
95, 6, 2, 7, 8dvrval 19560 . . 3 ((𝑋𝐵1 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 1 ) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘ 1 )))
101, 4, 9syl2anr 600 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 / 1 ) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘ 1 )))
117, 31rinv 19554 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((invr𝑅)‘ 1 ) = 1 )
1211adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((invr𝑅)‘ 1 ) = 1 )
1312oveq2d 7189 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘ 1 )) = (𝑋(.r𝑅) 1 ))
145, 6, 3ringridm 19447 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = 𝑋)
1510, 13, 143eqtrd 2778 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 / 1 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cfv 6340  (class class class)co 7173  Basecbs 16589  .rcmulr 16672  1rcur 19373  Ringcrg 19419  Unitcui 19514  invrcinvr 19546  /rcdvr 19557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-tpos 7924  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-0g 16821  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-grp 18225  df-minusg 18226  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-ring 19421  df-oppr 19498  df-dvdsr 19516  df-unit 19517  df-invr 19547  df-dvr 19558
This theorem is referenced by:  qqh0  31507  qqh1  31508
  Copyright terms: Public domain W3C validator