MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0unit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0unit 20294
Description: The additive identity is a unit if and only if 1 = 0, i.e. we are in the zero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0unit.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
0unit.2 0 = (0gβ€˜π‘…)
0unit.3 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
0unit (𝑅 ∈ Ring β†’ ( 0 ∈ π‘ˆ ↔ 1 = 0 ))

Proof of Theorem 0unit
StepHypRef Expression
1 0unit.1 . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
2 eqid 2724 . . . 4 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
3 eqid 2724 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4 0unit.3 . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘…)
51, 2, 3, 4unitrinv 20292 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜ 0 )) = 1 )
6 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
71, 2, 6ringinvcl 20290 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜ 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
8 0unit.2 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
96, 3, 8ringlz 20188 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜ 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜ 0 )) = 0 )
107, 9syldan 590 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜ 0 )) = 0 )
115, 10eqtr3d 2766 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 = 0 )
12 simpr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) β†’ 1 = 0 )
131, 41unit 20272 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ π‘ˆ)
1413adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) β†’ 1 ∈ π‘ˆ)
1512, 14eqeltrrd 2826 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) β†’ 0 ∈ π‘ˆ)
1611, 15impbida 798 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( 0 ∈ π‘ˆ ↔ 1 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  0gc0g 17390  1rcur 20082  Ringcrg 20134  Unitcui 20253  invrcinvr 20285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286
This theorem is referenced by:  nzrunit  20420  imadrhmcl  20644  fidomndrng  21216  gzrngunitlem  21315  unitnz  32879  isdrng4  32887
  Copyright terms: Public domain W3C validator