Theorem 0unit 20334

Description: The additive identity is a unit if and only if 1 = 0, i.e. we are in the zero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0unit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
0unit.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0unit.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0unit	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 = 0 ))

Proof of Theorem 0unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0unit.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		0unit.3	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	unitrinv 20332	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈) → ( 0 (.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 0 )) = 1 )
6		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	1, 2, 6	ringinvcl 20330	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
8		0unit.2	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	6, 3, 8	ringlz 20228	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 0 )) = 0 )
10	7, 9	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈) → ( 0 (.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 0 )) = 0 )
11	5, 10	eqtr3d 2770	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈) → 1 = 0 )
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 1 = 0 )
13	1, 4	1unit 20312	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 1 ∈ 𝑈)
15	12, 14	eqeltrrd 2830	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 0 ∈ 𝑈)
16	11, 15	impbida 800	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233  0_gc0g 17420  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  Unitcui 20293  inv_rcinvr 20325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326

This theorem is referenced by:  nzrunit  20460  imadrhmcl  20684  fidomndrng  21260  gzrngunitlem  21364  unitnz  32947  isdrng4  32962