Theorem 2cycl2d 35726

Description: Construction of a 2-cycle from two given edges in a graph. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2cycl2d.1	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2cycl2d.2	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2cycl2d.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
2cycl2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2cycl2d.5	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2cycl2d.6	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2cycl2d.7	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2cycl2d.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2cycl2d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2cycl2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cycl2d.1	. 2 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2		2cycl2d.2	. 2 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2cycl2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
4		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	3, 4	jccir 531	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
6		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
7	5, 6	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
8		2cycl2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	8	necomd 3010	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
10	8, 9	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
11		2cycl2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
12		prcom 4693	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}
13	12	sseq1i 3959	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾) ↔ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼‘𝐾))
14	13	anbi2i 635	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
15	11, 14	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
16		2cycl2d.6	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17		2cycl2d.7	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
18		2cycl2d.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
19		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
20	1, 2, 7, 10, 15, 16, 17, 18, 19	2cycld 30624	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  ⟨“cs2 14912  ⟨“cs3 14913  Vtxcvtx 29453  iEdgciedg 29454  Cyclesccycls 30251

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920  df-wlks 30059  df-trls 30154  df-pths 30178  df-cycls 30253

This theorem is used by: (None)