Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2cycl2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2cycl2d 32631
 Description: Construction of a 2-cycle from two given edges in a graph. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2cycl2d.1 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2cycl2d.2 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2cycl2d.3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
2cycl2d.4 (𝜑𝐴𝐵)
2cycl2d.5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐾)))
2cycl2d.6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2cycl2d.7 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2cycl2d.8 (𝜑𝐽𝐾)
Assertion
Ref Expression
2cycl2d (𝜑𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2cycl2d
StepHypRef Expression
1 2cycl2d.1 . 2 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2 2cycl2d.2 . 2 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3 2cycl2d.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
4 simpl 486 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
53, 4jccir 525 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝑉))
6 df-3an 1087 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐴𝑉) ↔ ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝑉))
75, 6sylibr 237 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐴𝑉))
8 2cycl2d.4 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
98necomd 3007 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
108, 9jca 515 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
11 2cycl2d.5 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐾)))
12 prcom 4629 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}
1312sseq1i 3923 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐾) ↔ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼𝐾))
1413anbi2i 625 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐾)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼𝐾)))
1511, 14sylib 221 . 2 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼𝐾)))
16 2cycl2d.6 . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17 2cycl2d.7 . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
18 2cycl2d.8 . 2 (𝜑𝐽𝐾)
19 eqidd 2760 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐴)
201, 2, 7, 10, 15, 16, 17, 18, 192cycld 32630 1 (𝜑𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   ⊆ wss 3861  {cpr 4528   class class class wbr 5037  ‘cfv 6341  ⟨“cs2 14264  ⟨“cs3 14265  Vtxcvtx 26903  iEdgciedg 26904  Cyclesccycls 27688 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-hash 13755  df-word 13928  df-concat 13984  df-s1 14011  df-s2 14271  df-s3 14272  df-wlks 27503  df-trls 27596  df-pths 27619  df-cycls 27690 This theorem is referenced by:  umgr2cycllem  32632
 Copyright terms: Public domain W3C validator