Theorem 2cycl2d 35612

Description: Construction of a 2-cycle from two given edges in a graph. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2cycl2d.1	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2cycl2d.2	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2cycl2d.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
2cycl2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2cycl2d.5	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2cycl2d.6	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2cycl2d.7	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2cycl2d.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2cycl2d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2cycl2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cycl2d.1	. 2 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2		2cycl2d.2	. 2 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2cycl2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
4		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	3, 4	jccir 530	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
6		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
7	5, 6	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
8		2cycl2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	8	necomd 3013	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
10	8, 9	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
11		2cycl2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
12		prcom 4699	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}
13	12	sseq1i 3966	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾) ↔ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼‘𝐾))
14	13	anbi2i 634	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
15	11, 14	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
16		2cycl2d.6	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17		2cycl2d.7	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
18		2cycl2d.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
19		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
20	1, 2, 7, 10, 15, 16, 17, 18, 19	2cycld 35611	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3906  {cpr 4592   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  ⟨“cs2 14880  ⟨“cs3 14881  Vtxcvtx 29327  iEdgciedg 29328  Cyclesccycls 30115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887  df-s3 14888  df-wlks 29930  df-trls 30021  df-pths 30044  df-cycls 30117

This theorem is referenced by:  umgr2cycllem  35613