Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2cycl2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2cycl2d 35124
Description: Construction of a 2-cycle from two given edges in a graph. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2cycl2d.1 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2cycl2d.2 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2cycl2d.3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
2cycl2d.4 (𝜑𝐴𝐵)
2cycl2d.5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐾)))
2cycl2d.6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2cycl2d.7 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2cycl2d.8 (𝜑𝐽𝐾)
Assertion
Ref Expression
2cycl2d (𝜑𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2cycl2d
StepHypRef Expression
1 2cycl2d.1 . 2 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2 2cycl2d.2 . 2 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3 2cycl2d.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
4 simpl 482 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
53, 4jccir 521 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝑉))
6 df-3an 1088 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐴𝑉) ↔ ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝑉))
75, 6sylibr 234 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐴𝑉))
8 2cycl2d.4 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
98necomd 2994 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
108, 9jca 511 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
11 2cycl2d.5 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐾)))
12 prcom 4737 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}
1312sseq1i 4024 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐾) ↔ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼𝐾))
1413anbi2i 623 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐾)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼𝐾)))
1511, 14sylib 218 . 2 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼𝐾)))
16 2cycl2d.6 . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17 2cycl2d.7 . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
18 2cycl2d.8 . 2 (𝜑𝐽𝐾)
19 eqidd 2736 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐴)
201, 2, 7, 10, 15, 16, 17, 18, 192cycld 35123 1 (𝜑𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cfv 6563  ⟨“cs2 14877  ⟨“cs3 14878  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Cyclesccycls 29818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-wlks 29632  df-trls 29725  df-pths 29749  df-cycls 29820
This theorem is referenced by:  umgr2cycllem  35125
  Copyright terms: Public domain W3C validator