Theorem 2cycl2d 35111

Description: Construction of a 2-cycle from two given edges in a graph. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2cycl2d.1	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2cycl2d.2	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2cycl2d.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
2cycl2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2cycl2d.5	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2cycl2d.6	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2cycl2d.7	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2cycl2d.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2cycl2d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2cycl2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cycl2d.1	. 2 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2		2cycl2d.2	. 2 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2cycl2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
4		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	3, 4	jccir 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
6		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
7	5, 6	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
8		2cycl2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	8	necomd 2980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
10	8, 9	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
11		2cycl2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
12		prcom 4686	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}
13	12	sseq1i 3966	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾) ↔ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼‘𝐾))
14	13	anbi2i 623	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
15	11, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
16		2cycl2d.6	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17		2cycl2d.7	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
18		2cycl2d.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
19		eqidd 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
20	1, 2, 7, 10, 15, 16, 17, 18, 19	2cycld 35110	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3905  {cpr 4581   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  ⟨“cs2 14766  ⟨“cs3 14767  Vtxcvtx 28959  iEdgciedg 28960  Cyclesccycls 29748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773  df-s3 14774  df-wlks 29563  df-trls 29654  df-pths 29677  df-cycls 29750

This theorem is referenced by:  umgr2cycllem  35112