Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2cycl2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2cycl2d 35144
Description: Construction of a 2-cycle from two given edges in a graph. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2cycl2d.1 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2cycl2d.2 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2cycl2d.3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
2cycl2d.4 (𝜑𝐴𝐵)
2cycl2d.5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐾)))
2cycl2d.6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2cycl2d.7 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2cycl2d.8 (𝜑𝐽𝐾)
Assertion
Ref Expression
2cycl2d (𝜑𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2cycl2d
StepHypRef Expression
1 2cycl2d.1 . 2 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2 2cycl2d.2 . 2 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3 2cycl2d.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
4 simpl 482 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
53, 4jccir 521 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝑉))
6 df-3an 1089 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐴𝑉) ↔ ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝑉))
75, 6sylibr 234 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐴𝑉))
8 2cycl2d.4 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
98necomd 2996 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
108, 9jca 511 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
11 2cycl2d.5 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐾)))
12 prcom 4732 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}
1312sseq1i 4012 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐾) ↔ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼𝐾))
1413anbi2i 623 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐾)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼𝐾)))
1511, 14sylib 218 . 2 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼𝐾)))
16 2cycl2d.6 . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17 2cycl2d.7 . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
18 2cycl2d.8 . 2 (𝜑𝐽𝐾)
19 eqidd 2738 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐴)
201, 2, 7, 10, 15, 16, 17, 18, 192cycld 35143 1 (𝜑𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  ⟨“cs2 14880  ⟨“cs3 14881  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Cyclesccycls 29805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-wlks 29617  df-trls 29710  df-pths 29734  df-cycls 29807
This theorem is referenced by:  umgr2cycllem  35145
  Copyright terms: Public domain W3C validator