Theorem ackval1 49887

Description: The Ackermann function at 1. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval1	⊢ (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))

Proof of Theorem ackval1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1e0p1 12865	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
2	1	fveq2i 6889	. 2 ⊢ (Ack‘1) = (Ack‘(0 + 1))
3		0nn0 12625	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		ackvalsuc1mpt 49884	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (Ack‘(0 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ack‘(0 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1))
6		peano2nn0 12650	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7		1nn0 12626	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		ackval0 49886	. . . . . . . 8 ⊢ (Ack‘0) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + 1))
9	8	itcovalpc 49878	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1)))))
10	6, 7, 9	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1)))))
11		nn0cn 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
12	6, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
13	12	mullidd 11331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
14	13	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1))) = (𝑖 + (𝑛 + 1)))
15	14	mpteq2dv 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
16	10, 15	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
17	16	fveq1d 6888	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1)))‘1))
18		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
19		oveq1 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + (𝑛 + 1)) = (1 + (𝑛 + 1)))
20	19	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 = 1) → (𝑖 + (𝑛 + 1)) = (1 + (𝑛 + 1)))
21	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
22		ovexd 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑛 + 1)) ∈ V)
23	18, 20, 21, 22	fvmptd 7002	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1)))‘1) = (1 + (𝑛 + 1)))
24		1cnd 11306	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
25		nn0cn 12620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
26		peano2cn 11486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
27	25, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
28	24, 27	addcomd 11516	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑛 + 1)) = ((𝑛 + 1) + 1))
29	25, 24, 24	addassd 11335	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 + 1) + 1) = (𝑛 + (1 + 1)))
30		1p1e2 12470	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
31	30	oveq2i 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 + (1 + 1)) = (𝑛 + 2)
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + (1 + 1)) = (𝑛 + 2))
33	28, 29, 32	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 2))
34	17, 23, 33	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1) = (𝑛 + 2))
35	34	mpteq2ia 5199	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
36	2, 5, 35	3eqtri 2787	1 ⊢ (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209  2c2 12401  ℕ₀cn0 12610  IterCompcitco 49863  Ackcack 49864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-seq 14149  df-itco 49865  df-ack 49866

This theorem is used by:  ackval2  49888  ackval1012  49896