Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ackval1 47531
Description: The Ackermann function at 1. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval1 (Ackβ€˜1) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 + 2))
Proof of Theorem ackval1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1e0p1 12726 . . 3 1 = (0 + 1)
21fveq2i 6894 . 2 (Ackβ€˜1) = (Ackβ€˜(0 + 1))
3 0nn0 12494 . . 3 0 ∈ β„•0
4 ackvalsuc1mpt 47528 . . 3 (0 ∈ β„•0 β†’ (Ackβ€˜(0 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ackβ€˜(0 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1))
6 peano2nn0 12519 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
7 1nn0 12495 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
8 ackval0 47530 . . . . . . . 8 (Ackβ€˜0) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + 1))
98itcovalpc 47522 . . . . . . 7 (((𝑛 + 1) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (1 Β· (𝑛 + 1)))))
106, 7, 9sylancl 585 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (1 Β· (𝑛 + 1)))))
11 nn0cn 12489 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 + 1) ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
126, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
1312mullidd 11239 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1 Β· (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
1413oveq2d 7428 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 + (1 Β· (𝑛 + 1))) = (𝑖 + (𝑛 + 1)))
1514mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (1 Β· (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
1610, 15eqtrd 2771 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
1716fveq1d 6893 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) = ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1)))β€˜1))
18 eqidd 2732 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
19 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑖 = 1 β†’ (𝑖 + (𝑛 + 1)) = (1 + (𝑛 + 1)))
2019adantl 481 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 = 1) β†’ (𝑖 + (𝑛 + 1)) = (1 + (𝑛 + 1)))
217a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„•0)
22 ovexd 7447 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑛 + 1)) ∈ V)
2318, 20, 21, 22fvmptd 7005 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1)))β€˜1) = (1 + (𝑛 + 1)))
24 1cnd 11216 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
25 nn0cn 12489 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
26 peano2cn 11393 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
2824, 27addcomd 11423 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑛 + 1)) = ((𝑛 + 1) + 1))
2925, 24, 24addassd 11243 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 + 1) + 1) = (𝑛 + (1 + 1)))
30 1p1e2 12344 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
3130oveq2i 7423 . . . . . 6 (𝑛 + (1 + 1)) = (𝑛 + 2)
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + (1 + 1)) = (𝑛 + 2))
3328, 29, 323eqtrd 2775 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 2))
3417, 23, 333eqtrd 2775 . . 3 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) = (𝑛 + 2))
3534mpteq2ia 5251 . 2 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 + 2))
362, 5, 353eqtri 2763 1 (Ackβ€˜1) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   Β· cmul 11121  2c2 12274  β„•0cn0 12479  IterCompcitco 47507  Ackcack 47508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-seq 13974  df-itco 47509  df-ack 47510
This theorem is referenced by:  ackval2  47532  ackval1012  47540
  Copyright terms: Public domain W3C validator