Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval1 48531
Description: The Ackermann function at 1. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval1 (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))

Proof of Theorem ackval1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1e0p1 12773 . . 3 1 = (0 + 1)
21fveq2i 6910 . 2 (Ack‘1) = (Ack‘(0 + 1))
3 0nn0 12539 . . 3 0 ∈ ℕ0
4 ackvalsuc1mpt 48528 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (Ack‘(0 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ack‘(0 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1))
6 peano2nn0 12564 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7 1nn0 12540 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
8 ackval0 48530 . . . . . . . 8 (Ack‘0) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + 1))
98itcovalpc 48522 . . . . . . 7 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1)))))
106, 7, 9sylancl 586 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1)))))
11 nn0cn 12534 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
126, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
1312mullidd 11277 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
1413oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1))) = (𝑖 + (𝑛 + 1)))
1514mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
1610, 15eqtrd 2775 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
1716fveq1d 6909 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1)))‘1))
18 eqidd 2736 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
19 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (𝑖 + (𝑛 + 1)) = (1 + (𝑛 + 1)))
2019adantl 481 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑖 = 1) → (𝑖 + (𝑛 + 1)) = (1 + (𝑛 + 1)))
217a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
22 ovexd 7466 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑛 + 1)) ∈ V)
2318, 20, 21, 22fvmptd 7023 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1)))‘1) = (1 + (𝑛 + 1)))
24 1cnd 11254 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
25 nn0cn 12534 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
26 peano2cn 11431 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
2824, 27addcomd 11461 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑛 + 1)) = ((𝑛 + 1) + 1))
2925, 24, 24addassd 11281 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 + 1) + 1) = (𝑛 + (1 + 1)))
30 1p1e2 12389 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
3130oveq2i 7442 . . . . . 6 (𝑛 + (1 + 1)) = (𝑛 + 2)
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + (1 + 1)) = (𝑛 + 2))
3328, 29, 323eqtrd 2779 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 2))
3417, 23, 333eqtrd 2779 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1) = (𝑛 + 2))
3534mpteq2ia 5251 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
362, 5, 353eqtri 2767 1 (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  0cn0 12524  IterCompcitco 48507  Ackcack 48508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-itco 48509  df-ack 48510
This theorem is referenced by:  ackval2  48532  ackval1012  48540
  Copyright terms: Public domain W3C validator