Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ackval1 47321
Description: The Ackermann function at 1. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval1 (Ackβ€˜1) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 + 2))
Proof of Theorem ackval1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1e0p1 12716 . . 3 1 = (0 + 1)
21fveq2i 6892 . 2 (Ackβ€˜1) = (Ackβ€˜(0 + 1))
3 0nn0 12484 . . 3 0 ∈ β„•0
4 ackvalsuc1mpt 47318 . . 3 (0 ∈ β„•0 β†’ (Ackβ€˜(0 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ackβ€˜(0 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1))
6 peano2nn0 12509 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
7 1nn0 12485 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
8 ackval0 47320 . . . . . . . 8 (Ackβ€˜0) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + 1))
98itcovalpc 47312 . . . . . . 7 (((𝑛 + 1) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (1 Β· (𝑛 + 1)))))
106, 7, 9sylancl 587 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (1 Β· (𝑛 + 1)))))
11 nn0cn 12479 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 + 1) ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
126, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
1312mullidd 11229 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1 Β· (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
1413oveq2d 7422 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 + (1 Β· (𝑛 + 1))) = (𝑖 + (𝑛 + 1)))
1514mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (1 Β· (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
1610, 15eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
1716fveq1d 6891 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) = ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1)))β€˜1))
18 eqidd 2734 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
19 oveq1 7413 . . . . . 6 (𝑖 = 1 β†’ (𝑖 + (𝑛 + 1)) = (1 + (𝑛 + 1)))
2019adantl 483 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 = 1) β†’ (𝑖 + (𝑛 + 1)) = (1 + (𝑛 + 1)))
217a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„•0)
22 ovexd 7441 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑛 + 1)) ∈ V)
2318, 20, 21, 22fvmptd 7003 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1)))β€˜1) = (1 + (𝑛 + 1)))
24 1cnd 11206 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
25 nn0cn 12479 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
26 peano2cn 11383 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
2824, 27addcomd 11413 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑛 + 1)) = ((𝑛 + 1) + 1))
2925, 24, 24addassd 11233 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 + 1) + 1) = (𝑛 + (1 + 1)))
30 1p1e2 12334 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
3130oveq2i 7417 . . . . . 6 (𝑛 + (1 + 1)) = (𝑛 + 2)
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + (1 + 1)) = (𝑛 + 2))
3328, 29, 323eqtrd 2777 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 2))
3417, 23, 333eqtrd 2777 . . 3 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) = (𝑛 + 2))
3534mpteq2ia 5251 . 2 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜0))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 + 2))
362, 5, 353eqtri 2765 1 (Ackβ€˜1) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  2c2 12264  β„•0cn0 12469  IterCompcitco 47297  Ackcack 47298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-itco 47299  df-ack 47300
This theorem is referenced by:  ackval2  47322  ackval1012  47330
  Copyright terms: Public domain W3C validator