Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval1 45136
 Description: The Ackermann function at 1. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval1 (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))

Proof of Theorem ackval1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1e0p1 12131 . . 3 1 = (0 + 1)
21fveq2i 6649 . 2 (Ack‘1) = (Ack‘(0 + 1))
3 0nn0 11903 . . 3 0 ∈ ℕ0
4 ackvalsuc1mpt 45133 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (Ack‘(0 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ack‘(0 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1))
6 peano2nn0 11928 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7 1nn0 11904 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
8 ackval0 45135 . . . . . . . 8 (Ack‘0) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + 1))
98itcovalpc 45127 . . . . . . 7 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1)))))
106, 7, 9sylancl 589 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1)))))
11 nn0cn 11898 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
126, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
1312mulid2d 10651 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
1413oveq2d 7152 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1))) = (𝑖 + (𝑛 + 1)))
1514mpteq2dv 5127 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
1610, 15eqtrd 2833 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
1716fveq1d 6648 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1)))‘1))
18 eqidd 2799 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
19 oveq1 7143 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (𝑖 + (𝑛 + 1)) = (1 + (𝑛 + 1)))
2019adantl 485 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑖 = 1) → (𝑖 + (𝑛 + 1)) = (1 + (𝑛 + 1)))
217a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
22 ovexd 7171 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑛 + 1)) ∈ V)
2318, 20, 21, 22fvmptd 6753 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1)))‘1) = (1 + (𝑛 + 1)))
24 1cnd 10628 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
25 nn0cn 11898 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
26 peano2cn 10804 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
2824, 27addcomd 10834 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑛 + 1)) = ((𝑛 + 1) + 1))
2925, 24, 24addassd 10655 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 + 1) + 1) = (𝑛 + (1 + 1)))
30 1p1e2 11753 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
3130oveq2i 7147 . . . . . 6 (𝑛 + (1 + 1)) = (𝑛 + 2)
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + (1 + 1)) = (𝑛 + 2))
3328, 29, 323eqtrd 2837 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 2))
3417, 23, 333eqtrd 2837 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1) = (𝑛 + 2))
3534mpteq2ia 5122 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
362, 5, 353eqtri 2825 1 (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  2c2 11683  ℕ0cn0 11888  IterCompcitco 45112  Ackcack 45113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-seq 13368  df-itco 45114  df-ack 45115 This theorem is referenced by:  ackval2  45137  ackval1012  45145
 Copyright terms: Public domain W3C validator