Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval1 45700
Description: The Ackermann function at 1. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval1 (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))

Proof of Theorem ackval1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1e0p1 12335 . . 3 1 = (0 + 1)
21fveq2i 6720 . 2 (Ack‘1) = (Ack‘(0 + 1))
3 0nn0 12105 . . 3 0 ∈ ℕ0
4 ackvalsuc1mpt 45697 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (Ack‘(0 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ack‘(0 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1))
6 peano2nn0 12130 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7 1nn0 12106 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
8 ackval0 45699 . . . . . . . 8 (Ack‘0) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + 1))
98itcovalpc 45691 . . . . . . 7 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1)))))
106, 7, 9sylancl 589 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1)))))
11 nn0cn 12100 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
126, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
1312mulid2d 10851 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
1413oveq2d 7229 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1))) = (𝑖 + (𝑛 + 1)))
1514mpteq2dv 5151 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (1 · (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
1610, 15eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
1716fveq1d 6719 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1)))‘1))
18 eqidd 2738 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1))))
19 oveq1 7220 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (𝑖 + (𝑛 + 1)) = (1 + (𝑛 + 1)))
2019adantl 485 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑖 = 1) → (𝑖 + (𝑛 + 1)) = (1 + (𝑛 + 1)))
217a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
22 ovexd 7248 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑛 + 1)) ∈ V)
2318, 20, 21, 22fvmptd 6825 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (𝑛 + 1)))‘1) = (1 + (𝑛 + 1)))
24 1cnd 10828 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
25 nn0cn 12100 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
26 peano2cn 11004 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
2824, 27addcomd 11034 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑛 + 1)) = ((𝑛 + 1) + 1))
2925, 24, 24addassd 10855 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 + 1) + 1) = (𝑛 + (1 + 1)))
30 1p1e2 11955 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
3130oveq2i 7224 . . . . . 6 (𝑛 + (1 + 1)) = (𝑛 + 2)
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + (1 + 1)) = (𝑛 + 2))
3328, 29, 323eqtrd 2781 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 2))
3417, 23, 333eqtrd 2781 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1) = (𝑛 + 2))
3534mpteq2ia 5146 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘0))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
362, 5, 353eqtri 2769 1 (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  cmpt 5135  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  2c2 11885  0cn0 12090  IterCompcitco 45676  Ackcack 45677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-itco 45678  df-ack 45679
This theorem is referenced by:  ackval2  45701  ackval1012  45709
  Copyright terms: Public domain W3C validator