Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval2 46446
Description: The Ackermann function at 2. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval2 (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))

Proof of Theorem ackval2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-2 12138 . . 3 2 = (1 + 1)
21fveq2i 6829 . 2 (Ack‘2) = (Ack‘(1 + 1))
3 1nn0 12351 . . 3 1 ∈ ℕ0
4 ackvalsuc1mpt 46442 . . 3 (1 ∈ ℕ0 → (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1))
6 peano2nn0 12375 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7 2nn0 12352 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
8 ackval1 46445 . . . . . . 7 (Ack‘1) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + 2))
98itcovalpc 46436 . . . . . 6 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
106, 7, 9sylancl 586 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
1110fveq1d 6828 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1))
12 eqidd 2737 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
13 oveq1 7345 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑖 = 1) → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
153a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
16 ovexd 7373 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ V)
1712, 14, 15, 16fvmptd 6939 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
18 nn0cn 12345 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
19 1cnd 11072 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
20 2cnd 12153 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
21 peano2cn 11249 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
2220, 21mulcld 11097 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
2319, 22addcomd 11279 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · (𝑛 + 1)) + 1))
24 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
2520, 24, 19adddid 11101 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
2625oveq1d 7353 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · (𝑛 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1))
2720, 24mulcld 11097 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
2820, 19mulcld 11097 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 1) ∈ ℂ)
2927, 28, 19addassd 11099 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)))
30 2t1e2 12238 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
3130oveq1i 7348 . . . . . . . . . 10 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
32 2p1e3 12217 . . . . . . . . . 10 (2 + 1) = 3
3331, 32eqtri 2764 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 1) = 3
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 1) + 1) = 3)
3534oveq2d 7354 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)) = ((2 · 𝑛) + 3))
3629, 35eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + 3))
3723, 26, 363eqtrd 2780 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
3818, 37syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
3911, 17, 383eqtrd 2780 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2 · 𝑛) + 3))
4039mpteq2ia 5196 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
412, 5, 403eqtri 2768 1 (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3441  cmpt 5176  cfv 6480  (class class class)co 7338  cc 10971  1c1 10974   + caddc 10976   · cmul 10978  2c2 12130  3c3 12131  0cn0 12335  IterCompcitco 46421  Ackcack 46422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-inf2 9499  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-seq 13824  df-itco 46423  df-ack 46424
This theorem is referenced by:  ackval3  46447  ackval2012  46455
  Copyright terms: Public domain W3C validator