Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval2 48531
Description: The Ackermann function at 2. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval2 (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))

Proof of Theorem ackval2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-2 12326 . . 3 2 = (1 + 1)
21fveq2i 6909 . 2 (Ack‘2) = (Ack‘(1 + 1))
3 1nn0 12539 . . 3 1 ∈ ℕ0
4 ackvalsuc1mpt 48527 . . 3 (1 ∈ ℕ0 → (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1))
6 peano2nn0 12563 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7 2nn0 12540 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
8 ackval1 48530 . . . . . . 7 (Ack‘1) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + 2))
98itcovalpc 48521 . . . . . 6 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
106, 7, 9sylancl 586 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
1110fveq1d 6908 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1))
12 eqidd 2735 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
13 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑖 = 1) → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
153a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
16 ovexd 7465 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ V)
1712, 14, 15, 16fvmptd 7022 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
18 nn0cn 12533 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
19 1cnd 11253 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
20 2cnd 12341 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
21 peano2cn 11430 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
2220, 21mulcld 11278 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
2319, 22addcomd 11460 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · (𝑛 + 1)) + 1))
24 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
2520, 24, 19adddid 11282 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
2625oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · (𝑛 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1))
2720, 24mulcld 11278 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
2820, 19mulcld 11278 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 1) ∈ ℂ)
2927, 28, 19addassd 11280 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)))
30 2t1e2 12426 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
3130oveq1i 7440 . . . . . . . . . 10 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
32 2p1e3 12405 . . . . . . . . . 10 (2 + 1) = 3
3331, 32eqtri 2762 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 1) = 3
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 1) + 1) = 3)
3534oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)) = ((2 · 𝑛) + 3))
3629, 35eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + 3))
3723, 26, 363eqtrd 2778 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
3818, 37syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
3911, 17, 383eqtrd 2778 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2 · 𝑛) + 3))
4039mpteq2ia 5250 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
412, 5, 403eqtri 2766 1 (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  2c2 12318  3c3 12319  0cn0 12523  IterCompcitco 48506  Ackcack 48507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-itco 48508  df-ack 48509
This theorem is referenced by:  ackval3  48532  ackval2012  48540
  Copyright terms: Public domain W3C validator