Theorem ackval2 48807

Description: The Ackermann function at 2. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval2	⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))

Proof of Theorem ackval2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12195	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	fveq2i 6831	. 2 ⊢ (Ack‘2) = (Ack‘(1 + 1))
3		1nn0 12404	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		ackvalsuc1mpt 48803	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1))
6		peano2nn0 12428	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7		2nn0 12405	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8		ackval1 48806	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘1) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + 2))
9	8	itcovalpc 48797	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
10	6, 7, 9	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
11	10	fveq1d 6830	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1))
12		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
13		oveq1 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 = 1) → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
15	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
16		ovexd 7387	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ V)
17	12, 14, 15, 16	fvmptd 6942	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
18		nn0cn 12398	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
19		1cnd 11114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
20		2cnd 12210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
21		peano2cn 11292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
22	20, 21	mulcld 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
23	19, 22	addcomd 11322	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · (𝑛 + 1)) + 1))
24		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
25	20, 24, 19	adddid 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
26	25	oveq1d 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · (𝑛 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1))
27	20, 24	mulcld 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
28	20, 19	mulcld 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 1) ∈ ℂ)
29	27, 28, 19	addassd 11141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)))
30		2t1e2 12290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
31	30	oveq1i 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
32		2p1e3 12269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
33	31, 32	eqtri 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 1) + 1) = 3)
35	34	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)) = ((2 · 𝑛) + 3))
36	29, 35	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + 3))
37	23, 26, 36	3eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
38	18, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
39	11, 17, 38	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2 · 𝑛) + 3))
40	39	mpteq2ia 5188	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
41	2, 5, 40	3eqtri 2760	1 ⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5174  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018  2c2 12187  3c3 12188  ℕ₀cn0 12388  IterCompcitco 48782  Ackcack 48783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-seq 13911  df-itco 48784  df-ack 48785

This theorem is referenced by:  ackval3  48808  ackval2012  48816