Theorem ackval2 45446

Description: The Ackermann function at 2. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval2	⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))

Proof of Theorem ackval2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 11722	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	fveq2i 6654	. 2 ⊢ (Ack‘2) = (Ack‘(1 + 1))
3		1nn0 11935	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		ackvalsuc1mpt 45442	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1))
6		peano2nn0 11959	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7		2nn0 11936	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8		ackval1 45445	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘1) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + 2))
9	8	itcovalpc 45436	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
10	6, 7, 9	sylancl 590	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
11	10	fveq1d 6653	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1))
12		eqidd 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
13		oveq1 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
14	13	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 = 1) → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
15	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
16		ovexd 7178	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ V)
17	12, 14, 15, 16	fvmptd 6759	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
18		nn0cn 11929	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
19		1cnd 10659	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
20		2cnd 11737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
21		peano2cn 10835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
22	20, 21	mulcld 10684	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
23	19, 22	addcomd 10865	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · (𝑛 + 1)) + 1))
24		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
25	20, 24, 19	adddid 10688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
26	25	oveq1d 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · (𝑛 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1))
27	20, 24	mulcld 10684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
28	20, 19	mulcld 10684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 1) ∈ ℂ)
29	27, 28, 19	addassd 10686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)))
30		2t1e2 11822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
31	30	oveq1i 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
32		2p1e3 11801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
33	31, 32	eqtri 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 1) + 1) = 3)
35	34	oveq2d 7159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)) = ((2 · 𝑛) + 3))
36	29, 35	eqtrd 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + 3))
37	23, 26, 36	3eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
38	18, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
39	11, 17, 38	3eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2 · 𝑛) + 3))
40	39	mpteq2ia 5116	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
41	2, 5, 40	3eqtri 2786	1 ⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3407   ↦ cmpt 5105  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  ℂcc 10558  1c1 10561   + caddc 10563   · cmul 10565  2c2 11714  3c3 11715  ℕ₀cn0 11919  IterCompcitco 45421  Ackcack 45422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-seq 13404  df-itco 45423  df-ack 45424

This theorem is referenced by:  ackval3  45447  ackval2012  45455