Theorem ackval2 49503

Description: The Ackermann function at 2. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval2	⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))

Proof of Theorem ackval2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12321	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	fveq2i 6891	. 2 ⊢ (Ack‘2) = (Ack‘(1 + 1))
3		1nn0 12538	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		ackvalsuc1mpt 49499	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1))
6		peano2nn0 12562	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7		2nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8		ackval1 49502	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘1) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + 2))
9	8	itcovalpc 49493	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
10	6, 7, 9	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
11	10	fveq1d 6890	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1))
12		eqidd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
13		oveq1 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 = 1) → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
15	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
16		ovexd 7458	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ V)
17	12, 14, 15, 16	fvmptd 7004	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
18		nn0cn 12532	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
19		1cnd 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
20		2cnd 12337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
21		peano2cn 11400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
22	20, 21	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
23	19, 22	addcomd 11430	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · (𝑛 + 1)) + 1))
24		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
25	20, 24, 19	adddid 11251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
26	25	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · (𝑛 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1))
27	20, 24	mulcld 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
28	20, 19	mulcld 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 1) ∈ ℂ)
29	27, 28, 19	addassd 11249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)))
30		2t1e2 12421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
31	30	oveq1i 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
32		2p1e3 12400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
33	31, 32	eqtri 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 1) + 1) = 3)
35	34	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)) = ((2 · 𝑛) + 3))
36	29, 35	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + 3))
37	23, 26, 36	3eqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
38	18, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
39	11, 17, 38	3eqtrd 2805	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2 · 𝑛) + 3))
40	39	mpteq2ia 5211	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
41	2, 5, 40	3eqtri 2793	1 ⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  2c2 12313  3c3 12314  ℕ₀cn0 12522  IterCompcitco 49478  Ackcack 49479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-seq 14058  df-itco 49480  df-ack 49481

This theorem is used by:  ackval3  49504  ackval2012  49512