Theorem ackval2 48924

Description: The Ackermann function at 2. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval2	⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))

Proof of Theorem ackval2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12208	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (Ack‘2) = (Ack‘(1 + 1))
3		1nn0 12417	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		ackvalsuc1mpt 48920	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1))
6		peano2nn0 12441	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7		2nn0 12418	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8		ackval1 48923	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘1) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + 2))
9	8	itcovalpc 48914	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
10	6, 7, 9	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
11	10	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1))
12		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
13		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 = 1) → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
15	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
16		ovexd 7393	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ V)
17	12, 14, 15, 16	fvmptd 6948	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
18		nn0cn 12411	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
19		1cnd 11127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
20		2cnd 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
21		peano2cn 11305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
22	20, 21	mulcld 11152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
23	19, 22	addcomd 11335	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · (𝑛 + 1)) + 1))
24		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
25	20, 24, 19	adddid 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
26	25	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · (𝑛 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1))
27	20, 24	mulcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
28	20, 19	mulcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 1) ∈ ℂ)
29	27, 28, 19	addassd 11154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)))
30		2t1e2 12303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
31	30	oveq1i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
32		2p1e3 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
33	31, 32	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 1) + 1) = 3)
35	34	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)) = ((2 · 𝑛) + 3))
36	29, 35	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + 3))
37	23, 26, 36	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
38	18, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
39	11, 17, 38	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2 · 𝑛) + 3))
40	39	mpteq2ia 5193	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
41	2, 5, 40	3eqtri 2763	1 ⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  2c2 12200  3c3 12201  ℕ₀cn0 12401  IterCompcitco 48899  Ackcack 48900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-itco 48901  df-ack 48902

This theorem is referenced by:  ackval3  48925  ackval2012  48933