Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval2 45035
 Description: The Ackermann function at 2. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval2 (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))

Proof of Theorem ackval2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-2 11688 . . 3 2 = (1 + 1)
21fveq2i 6655 . 2 (Ack‘2) = (Ack‘(1 + 1))
3 1nn0 11901 . . 3 1 ∈ ℕ0
4 ackvalsuc1mpt 45031 . . 3 (1 ∈ ℕ0 → (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ack‘(1 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1))
6 peano2nn0 11925 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7 2nn0 11902 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
8 ackval1 45034 . . . . . . 7 (Ack‘1) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + 2))
98itcovalpc 45025 . . . . . 6 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
106, 7, 9sylancl 589 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
1110fveq1d 6654 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1))
12 eqidd 2823 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1)))))
13 oveq1 7147 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
1413adantl 485 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑖 = 1) → (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
153a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
16 ovexd 7175 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ V)
1712, 14, 15, 16fvmptd 6757 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 + (2 · (𝑛 + 1))))‘1) = (1 + (2 · (𝑛 + 1))))
18 nn0cn 11895 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
19 1cnd 10625 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
20 2cnd 11703 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
21 peano2cn 10801 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
2220, 21mulcld 10650 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
2319, 22addcomd 10831 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · (𝑛 + 1)) + 1))
24 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
2520, 24, 19adddid 10654 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
2625oveq1d 7155 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · (𝑛 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1))
2720, 24mulcld 10650 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
2820, 19mulcld 10650 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 1) ∈ ℂ)
2927, 28, 19addassd 10652 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)))
30 2t1e2 11788 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
3130oveq1i 7150 . . . . . . . . . 10 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
32 2p1e3 11767 . . . . . . . . . 10 (2 + 1) = 3
3331, 32eqtri 2845 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 1) = 3
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 1) + 1) = 3)
3534oveq2d 7156 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) + ((2 · 1) + 1)) = ((2 · 𝑛) + 3))
3629, 35eqtrd 2857 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + (2 · 1)) + 1) = ((2 · 𝑛) + 3))
3723, 26, 363eqtrd 2861 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℂ → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
3818, 37syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 + (2 · (𝑛 + 1))) = ((2 · 𝑛) + 3))
3911, 17, 383eqtrd 2861 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2 · 𝑛) + 3))
4039mpteq2ia 5133 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘1))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
412, 5, 403eqtri 2849 1 (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  Vcvv 3469   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  2c2 11680  3c3 11681  ℕ0cn0 11885  IterCompcitco 45010  Ackcack 45011 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-itco 45012  df-ack 45013 This theorem is referenced by:  ackval3  45036  ackval2012  45044
 Copyright terms: Public domain W3C validator