Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval2 46854
Description: The Ackermann function at 2. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval2 (Ackβ€˜2) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑛) + 3))

Proof of Theorem ackval2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-2 12221 . . 3 2 = (1 + 1)
21fveq2i 6846 . 2 (Ackβ€˜2) = (Ackβ€˜(1 + 1))
3 1nn0 12434 . . 3 1 ∈ β„•0
4 ackvalsuc1mpt 46850 . . 3 (1 ∈ β„•0 β†’ (Ackβ€˜(1 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜1))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ackβ€˜(1 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜1))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1))
6 peano2nn0 12458 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
7 2nn0 12435 . . . . . 6 2 ∈ β„•0
8 ackval1 46853 . . . . . . 7 (Ackβ€˜1) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + 2))
98itcovalpc 46844 . . . . . 6 (((𝑛 + 1) ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜1))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (2 Β· (𝑛 + 1)))))
106, 7, 9sylancl 587 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜1))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (2 Β· (𝑛 + 1)))))
1110fveq1d 6845 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜1))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) = ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (2 Β· (𝑛 + 1))))β€˜1))
12 eqidd 2734 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (2 Β· (𝑛 + 1)))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (2 Β· (𝑛 + 1)))))
13 oveq1 7365 . . . . . 6 (𝑖 = 1 β†’ (𝑖 + (2 Β· (𝑛 + 1))) = (1 + (2 Β· (𝑛 + 1))))
1413adantl 483 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 = 1) β†’ (𝑖 + (2 Β· (𝑛 + 1))) = (1 + (2 Β· (𝑛 + 1))))
153a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„•0)
16 ovexd 7393 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1 + (2 Β· (𝑛 + 1))) ∈ V)
1712, 14, 15, 16fvmptd 6956 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 + (2 Β· (𝑛 + 1))))β€˜1) = (1 + (2 Β· (𝑛 + 1))))
18 nn0cn 12428 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
19 1cnd 11155 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ 1 ∈ β„‚)
20 2cnd 12236 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ 2 ∈ β„‚)
21 peano2cn 11332 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
2220, 21mulcld 11180 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„‚)
2319, 22addcomd 11362 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (1 + (2 Β· (𝑛 + 1))) = ((2 Β· (𝑛 + 1)) + 1))
24 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
2520, 24, 19adddid 11184 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) = ((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1)))
2625oveq1d 7373 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· (𝑛 + 1)) + 1) = (((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1)) + 1))
2720, 24mulcld 11180 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
2820, 19mulcld 11180 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· 1) ∈ β„‚)
2927, 28, 19addassd 11182 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1)) + 1) = ((2 Β· 𝑛) + ((2 Β· 1) + 1)))
30 2t1e2 12321 . . . . . . . . . . 11 (2 Β· 1) = 2
3130oveq1i 7368 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· 1) + 1) = (2 + 1)
32 2p1e3 12300 . . . . . . . . . 10 (2 + 1) = 3
3331, 32eqtri 2761 . . . . . . . . 9 ((2 Β· 1) + 1) = 3
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· 1) + 1) = 3)
3534oveq2d 7374 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· 𝑛) + ((2 Β· 1) + 1)) = ((2 Β· 𝑛) + 3))
3629, 35eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1)) + 1) = ((2 Β· 𝑛) + 3))
3723, 26, 363eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (1 + (2 Β· (𝑛 + 1))) = ((2 Β· 𝑛) + 3))
3818, 37syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1 + (2 Β· (𝑛 + 1))) = ((2 Β· 𝑛) + 3))
3911, 17, 383eqtrd 2777 . . 3 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜1))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) = ((2 Β· 𝑛) + 3))
4039mpteq2ia 5209 . 2 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜1))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑛) + 3))
412, 5, 403eqtri 2765 1 (Ackβ€˜2) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑛) + 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  2c2 12213  3c3 12214  β„•0cn0 12418  IterCompcitco 46829  Ackcack 46830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-seq 13913  df-itco 46831  df-ack 46832
This theorem is referenced by:  ackval3  46855  ackval2012  46863
  Copyright terms: Public domain W3C validator