Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval2012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval2012 48612
Description: The Ackermann function at (2,0), (2,1), (2,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval2012 ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩

Proof of Theorem ackval2012
StepHypRef Expression
1 ackval2 48603 . 2 (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
2 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (2 · 𝑛) = (2 · 0))
32oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 0) + 3))
4 2t0e0 12435 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
54oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 0) + 3) = (0 + 3)
6 3cn 12347 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
76addlidi 11449 . . . . . 6 (0 + 3) = 3
85, 7eqtri 2765 . . . . 5 ((2 · 0) + 3) = 3
93, 8eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = 3)
10 0nn0 12541 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1110a1i 11 . . . 4 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 0 ∈ ℕ0)
12 3nn0 12544 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
1312a1i 11 . . . 4 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 3 ∈ ℕ0)
141, 9, 11, 13fvmptd3 7039 . . 3 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘0) = 3)
15 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (2 · 𝑛) = (2 · 1))
1615oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 1) + 3))
17 2t1e2 12429 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
1817oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
19 2cn 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
20 3p2e5 12417 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
216, 19, 20addcomli 11453 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
2218, 21eqtri 2765 . . . . 5 ((2 · 1) + 3) = 5
2316, 22eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = 5)
24 1nn0 12542 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2524a1i 11 . . . 4 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 1 ∈ ℕ0)
26 5nn0 12546 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
2726a1i 11 . . . 4 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 5 ∈ ℕ0)
281, 23, 25, 27fvmptd3 7039 . . 3 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘1) = 5)
29 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 2 → (2 · 𝑛) = (2 · 2))
3029oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 2) + 3))
31 2t2e4 12430 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
3231oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 2) + 3) = (4 + 3)
33 4p3e7 12420 . . . . . 6 (4 + 3) = 7
3432, 33eqtri 2765 . . . . 5 ((2 · 2) + 3) = 7
3530, 34eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = 7)
36 2nn0 12543 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
3736a1i 11 . . . 4 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 2 ∈ ℕ0)
38 7nn0 12548 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
3938a1i 11 . . . 4 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 7 ∈ ℕ0)
401, 35, 37, 39fvmptd3 7039 . . 3 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘2) = 7)
4114, 28, 40oteq123d 4888 . 2 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩)
421, 41ax-mp 5 1 ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  cotp 4634  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  7c7 12326  0cn0 12526  Ackcack 48579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-itco 48580  df-ack 48581
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator