Theorem ackval2012 50134

Description: The Ackermann function at (2,0), (2,1), (2,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval2012	⊢ ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩

Proof of Theorem ackval2012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval2 50125	. 2 ⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
2		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2 · 𝑛) = (2 · 0))
3	2	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 0) + 3))
4		2t0e0 12553	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 0) = 0
5	4	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 0) + 3) = (0 + 3)
6		3cn 12464	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
7	6	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = 3
8	5, 7	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((2 · 0) + 3) = 3
9	3, 8	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = 3)
10		0nn0 12661	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 0 ∈ ℕ0)
12		3nn0 12664	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 3 ∈ ℕ0)
14	1, 9, 11, 13	fvmptd3 7048	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘0) = 3)
15		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2 · 𝑛) = (2 · 1))
16	15	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 1) + 3))
17		2t1e2 12545	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
18	17	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
19		2cn 12458	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20		3p2e5 12533	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
21	6, 19, 20	addcomli 11541	. . . . . 6 ⊢ (2 + 3) = 5
22	18, 21	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((2 · 1) + 3) = 5
23	16, 22	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = 5)
24		1nn0 12662	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 1 ∈ ℕ0)
26		5nn0 12666	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 5 ∈ ℕ0)
28	1, 23, 25, 27	fvmptd3 7048	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘1) = 5)
29		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2 · 𝑛) = (2 · 2))
30	29	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 2) + 3))
31		2t2e4 12546	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
32	31	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 3) = (4 + 3)
33		4p3e7 12536	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
34	32, 33	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((2 · 2) + 3) = 7
35	30, 34	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = 7)
36		2nn0 12663	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 2 ∈ ℕ0)
38		7nn0 12668	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 7 ∈ ℕ0)
40	1, 35, 37, 39	fvmptd3 7048	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘2) = 7)
41	14, 28, 40	oteq123d 4871	. 2 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩)
42	1, 41	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cotp 4863   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  7c7 12442  ℕ₀cn0 12646  Ackcack 50101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-itco 50102  df-ack 50103

This theorem is used by: (None)