Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval2012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval2012 45463
 Description: The Ackermann function at (2,0), (2,1), (2,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval2012 ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩

Proof of Theorem ackval2012
StepHypRef Expression
1 ackval2 45454 . 2 (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
2 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (2 · 𝑛) = (2 · 0))
32oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 0) + 3))
4 2t0e0 11836 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
54oveq1i 7161 . . . . . 6 ((2 · 0) + 3) = (0 + 3)
6 3cn 11748 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
76addid2i 10859 . . . . . 6 (0 + 3) = 3
85, 7eqtri 2782 . . . . 5 ((2 · 0) + 3) = 3
93, 8eqtrdi 2810 . . . 4 (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = 3)
10 0nn0 11942 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1110a1i 11 . . . 4 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 0 ∈ ℕ0)
12 3nn0 11945 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
1312a1i 11 . . . 4 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 3 ∈ ℕ0)
141, 9, 11, 13fvmptd3 6783 . . 3 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘0) = 3)
15 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (2 · 𝑛) = (2 · 1))
1615oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 1) + 3))
17 2t1e2 11830 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
1817oveq1i 7161 . . . . . 6 ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
19 2cn 11742 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
20 3p2e5 11818 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
216, 19, 20addcomli 10863 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
2218, 21eqtri 2782 . . . . 5 ((2 · 1) + 3) = 5
2316, 22eqtrdi 2810 . . . 4 (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = 5)
24 1nn0 11943 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2524a1i 11 . . . 4 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 1 ∈ ℕ0)
26 5nn0 11947 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
2726a1i 11 . . . 4 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 5 ∈ ℕ0)
281, 23, 25, 27fvmptd3 6783 . . 3 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘1) = 5)
29 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑛 = 2 → (2 · 𝑛) = (2 · 2))
3029oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 2) + 3))
31 2t2e4 11831 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
3231oveq1i 7161 . . . . . 6 ((2 · 2) + 3) = (4 + 3)
33 4p3e7 11821 . . . . . 6 (4 + 3) = 7
3432, 33eqtri 2782 . . . . 5 ((2 · 2) + 3) = 7
3530, 34eqtrdi 2810 . . . 4 (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = 7)
36 2nn0 11944 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
3736a1i 11 . . . 4 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 2 ∈ ℕ0)
38 7nn0 11949 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
3938a1i 11 . . . 4 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 7 ∈ ℕ0)
401, 35, 37, 39fvmptd3 6783 . . 3 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘2) = 7)
4114, 28, 40oteq123d 4779 . 2 ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩)
421, 41ax-mp 5 1 ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ⟨cotp 4531   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571   · cmul 10573  2c2 11722  3c3 11723  4c4 11724  5c5 11725  7c7 11727  ℕ0cn0 11927  Ackcack 45430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9130  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-ot 4532  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-seq 13412  df-itco 45431  df-ack 45432 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator