Theorem ackval2012 47565

Description: The Ackermann function at (2,0), (2,1), (2,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval2012	⊢ ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩

Proof of Theorem ackval2012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval2 47556	. 2 ⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
2		oveq2 7409	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2 · 𝑛) = (2 · 0))
3	2	oveq1d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 0) + 3))
4		2t0e0 12378	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 0) = 0
5	4	oveq1i 7411	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 0) + 3) = (0 + 3)
6		3cn 12290	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
7	6	addlidi 11399	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = 3
8	5, 7	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2 · 0) + 3) = 3
9	3, 8	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = 3)
10		0nn0 12484	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 0 ∈ ℕ0)
12		3nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 3 ∈ ℕ0)
14	1, 9, 11, 13	fvmptd3 7011	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘0) = 3)
15		oveq2 7409	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2 · 𝑛) = (2 · 1))
16	15	oveq1d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 1) + 3))
17		2t1e2 12372	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
18	17	oveq1i 7411	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
19		2cn 12284	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20		3p2e5 12360	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
21	6, 19, 20	addcomli 11403	. . . . . 6 ⊢ (2 + 3) = 5
22	18, 21	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2 · 1) + 3) = 5
23	16, 22	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = 5)
24		1nn0 12485	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 1 ∈ ℕ0)
26		5nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 5 ∈ ℕ0)
28	1, 23, 25, 27	fvmptd3 7011	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘1) = 5)
29		oveq2 7409	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2 · 𝑛) = (2 · 2))
30	29	oveq1d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 2) + 3))
31		2t2e4 12373	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
32	31	oveq1i 7411	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 3) = (4 + 3)
33		4p3e7 12363	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
34	32, 33	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2 · 2) + 3) = 7
35	30, 34	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = 7)
36		2nn0 12486	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 2 ∈ ℕ0)
38		7nn0 12491	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 7 ∈ ℕ0)
40	1, 35, 37, 39	fvmptd3 7011	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘2) = 7)
41	14, 28, 40	oteq123d 4880	. 2 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩)
42	1, 41	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cotp 4628   ↦ cmpt 5221  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  2c2 12264  3c3 12265  4c4 12266  5c5 12267  7c7 12269  ℕ₀cn0 12469  Ackcack 47532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-itco 47533  df-ack 47534

This theorem is referenced by: (None)