Theorem ackval2012 49167

Description: The Ackermann function at (2,0), (2,1), (2,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval2012	⊢ ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩

Proof of Theorem ackval2012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval2 49158	. 2 ⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
2		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2 · 𝑛) = (2 · 0))
3	2	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 0) + 3))
4		2t0e0 12345	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 0) = 0
5	4	oveq1i 7377	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 0) + 3) = (0 + 3)
6		3cn 12262	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
7	6	addlidi 11334	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = 3
8	5, 7	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((2 · 0) + 3) = 3
9	3, 8	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = 3)
10		0nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 0 ∈ ℕ0)
12		3nn0 12455	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 3 ∈ ℕ0)
14	1, 9, 11, 13	fvmptd3 6971	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘0) = 3)
15		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2 · 𝑛) = (2 · 1))
16	15	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 1) + 3))
17		2t1e2 12339	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
18	17	oveq1i 7377	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
19		2cn 12256	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20		3p2e5 12327	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
21	6, 19, 20	addcomli 11338	. . . . . 6 ⊢ (2 + 3) = 5
22	18, 21	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((2 · 1) + 3) = 5
23	16, 22	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = 5)
24		1nn0 12453	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 1 ∈ ℕ0)
26		5nn0 12457	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 5 ∈ ℕ0)
28	1, 23, 25, 27	fvmptd3 6971	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘1) = 5)
29		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2 · 𝑛) = (2 · 2))
30	29	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 2) + 3))
31		2t2e4 12340	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
32	31	oveq1i 7377	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 3) = (4 + 3)
33		4p3e7 12330	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
34	32, 33	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((2 · 2) + 3) = 7
35	30, 34	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = 7)
36		2nn0 12454	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 2 ∈ ℕ0)
38		7nn0 12459	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 7 ∈ ℕ0)
40	1, 35, 37, 39	fvmptd3 6971	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘2) = 7)
41	14, 28, 40	oteq123d 4831	. 2 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩)
42	1, 41	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cotp 4575   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  7c7 12241  ℕ₀cn0 12437  Ackcack 49134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-itco 49135  df-ack 49136

This theorem is referenced by: (None)