Theorem ackval2012 49048

Description: The Ackermann function at (2,0), (2,1), (2,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval2012	⊢ ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩

Proof of Theorem ackval2012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval2 49039	. 2 ⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
2		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2 · 𝑛) = (2 · 0))
3	2	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 0) + 3))
4		2t0e0 12321	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 0) = 0
5	4	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 0) + 3) = (0 + 3)
6		3cn 12238	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
7	6	addlidi 11333	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = 3
8	5, 7	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((2 · 0) + 3) = 3
9	3, 8	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = 3)
10		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 0 ∈ ℕ0)
12		3nn0 12431	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 3 ∈ ℕ0)
14	1, 9, 11, 13	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘0) = 3)
15		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2 · 𝑛) = (2 · 1))
16	15	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 1) + 3))
17		2t1e2 12315	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
18	17	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
19		2cn 12232	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20		3p2e5 12303	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
21	6, 19, 20	addcomli 11337	. . . . . 6 ⊢ (2 + 3) = 5
22	18, 21	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((2 · 1) + 3) = 5
23	16, 22	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = 5)
24		1nn0 12429	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 1 ∈ ℕ0)
26		5nn0 12433	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 5 ∈ ℕ0)
28	1, 23, 25, 27	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘1) = 5)
29		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2 · 𝑛) = (2 · 2))
30	29	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 2) + 3))
31		2t2e4 12316	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
32	31	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 3) = (4 + 3)
33		4p3e7 12306	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
34	32, 33	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((2 · 2) + 3) = 7
35	30, 34	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = 7)
36		2nn0 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 2 ∈ ℕ0)
38		7nn0 12435	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 7 ∈ ℕ0)
40	1, 35, 37, 39	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘2) = 7)
41	14, 28, 40	oteq123d 4846	. 2 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩)
42	1, 41	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cotp 4590   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  5c5 12215  7c7 12217  ℕ₀cn0 12413  Ackcack 49015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-itco 49016  df-ack 49017

This theorem is referenced by: (None)