Theorem ackval2012 46281

Description: The Ackermann function at (2,0), (2,1), (2,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval2012	⊢ ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩

Proof of Theorem ackval2012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval2 46272	. 2 ⊢ (Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3))
2		oveq2 7315	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2 · 𝑛) = (2 · 0))
3	2	oveq1d 7322	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 0) + 3))
4		2t0e0 12192	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 0) = 0
5	4	oveq1i 7317	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 0) + 3) = (0 + 3)
6		3cn 12104	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
7	6	addid2i 11213	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = 3
8	5, 7	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((2 · 0) + 3) = 3
9	3, 8	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) + 3) = 3)
10		0nn0 12298	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 0 ∈ ℕ0)
12		3nn0 12301	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 3 ∈ ℕ0)
14	1, 9, 11, 13	fvmptd3 6930	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘0) = 3)
15		oveq2 7315	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2 · 𝑛) = (2 · 1))
16	15	oveq1d 7322	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 1) + 3))
17		2t1e2 12186	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
18	17	oveq1i 7317	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
19		2cn 12098	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20		3p2e5 12174	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
21	6, 19, 20	addcomli 11217	. . . . . 6 ⊢ (2 + 3) = 5
22	18, 21	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((2 · 1) + 3) = 5
23	16, 22	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2 · 𝑛) + 3) = 5)
24		1nn0 12299	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 1 ∈ ℕ0)
26		5nn0 12303	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 5 ∈ ℕ0)
28	1, 23, 25, 27	fvmptd3 6930	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘1) = 5)
29		oveq2 7315	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2 · 𝑛) = (2 · 2))
30	29	oveq1d 7322	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = ((2 · 2) + 3))
31		2t2e4 12187	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
32	31	oveq1i 7317	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 3) = (4 + 3)
33		4p3e7 12177	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
34	32, 33	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((2 · 2) + 3) = 7
35	30, 34	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2 · 𝑛) + 3) = 7)
36		2nn0 12300	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 2 ∈ ℕ0)
38		7nn0 12305	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → 7 ∈ ℕ0)
40	1, 35, 37, 39	fvmptd3 6930	. . 3 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ((Ack‘2)‘2) = 7)
41	14, 28, 40	oteq123d 4824	. 2 ⊢ ((Ack‘2) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 3)) → ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩)
42	1, 41	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘2)‘0), ((Ack‘2)‘1), ((Ack‘2)‘2)⟩ = ⟨3, 5, 7⟩

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ⟨cotp 4573   ↦ cmpt 5164  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  0cc0 10921  1c1 10922   + caddc 10924   · cmul 10926  2c2 12078  3c3 12079  4c4 12080  5c5 12081  7c7 12083  ℕ₀cn0 12283  Ackcack 46248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-ot 4574  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-seq 13772  df-itco 46249  df-ack 46250

This theorem is referenced by: (None)