Theorem atsseq 30754

Description: Two atoms in a subset relationship are equal. (Contributed by NM, 26-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atsseq	⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem atsseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atne0 30752	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms → 𝐴 ≠ 0ℋ)
2	1	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≠ 0ℋ)
3		atelch 30751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms → 𝐴 ∈ Cℋ )
4		atss 30753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ)))
5	3, 4	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ)))
6	5	imp 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ))
7	6	ord 862	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 0ℋ))
8	7	necon1ad 2958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐴 = 𝐵))
9	2, 8	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
10	9	ex 414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
11		eqimss 3982	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
12	10, 11	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941   ⊆ wss 3892   C_ℋ cch 29336  0_ℋc0h 29342  HAtomscat 29372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995  ax-addf 10996  ax-mulf 10997  ax-hilex 29406  ax-hfvadd 29407  ax-hvcom 29408  ax-hvass 29409  ax-hv0cl 29410  ax-hvaddid 29411  ax-hfvmul 29412  ax-hvmulid 29413  ax-hvmulass 29414  ax-hvdistr1 29415  ax-hvdistr2 29416  ax-hvmul0 29417  ax-hfi 29486  ax-his1 29489  ax-his2 29490  ax-his3 29491  ax-his4 29492

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-icc 13132  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-topgen 17199  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-mopn 20638  df-top 22088  df-topon 22105  df-bases 22141  df-lm 22425  df-haus 22511  df-grpo 28900  df-gid 28901  df-ginv 28902  df-gdiv 28903  df-ablo 28952  df-vc 28966  df-nv 28999  df-va 29002  df-ba 29003  df-sm 29004  df-0v 29005  df-vs 29006  df-nmcv 29007  df-ims 29008  df-hnorm 29375  df-hvsub 29378  df-hlim 29379  df-sh 29614  df-ch 29628  df-ch0 29660  df-cv 30686  df-at 30745

This theorem is referenced by:  atnemeq0  30784