Theorem atsseq 29750

Description: Two atoms in a subset relationship are equal. (Contributed by NM, 26-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atsseq	⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem atsseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atne0 29748	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms → 𝐴 ≠ 0ℋ)
2	1	ad2antrr 717	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≠ 0ℋ)
3		atelch 29747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms → 𝐴 ∈ Cℋ )
4		atss 29749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ)))
5	3, 4	sylan 575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ)))
6	5	imp 397	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ))
7	6	ord 895	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 0ℋ))
8	7	necon1ad 3016	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐴 = 𝐵))
9	2, 8	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
10	9	ex 403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
11		eqimss 3882	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
12	10, 11	impbid1 217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   ⊆ wss 3798   C_ℋ cch 28330  0_ℋc0h 28336  HAtomscat 28366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332  ax-hilex 28400  ax-hfvadd 28401  ax-hvcom 28402  ax-hvass 28403  ax-hv0cl 28404  ax-hvaddid 28405  ax-hfvmul 28406  ax-hvmulid 28407  ax-hvmulass 28408  ax-hvdistr1 28409  ax-hvdistr2 28410  ax-hvmul0 28411  ax-hfi 28480  ax-his1 28483  ax-his2 28484  ax-his3 28485  ax-his4 28486

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-icc 12470  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-topgen 16457  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-top 21069  df-topon 21086  df-bases 21121  df-lm 21404  df-haus 21490  df-grpo 27892  df-gid 27893  df-ginv 27894  df-gdiv 27895  df-ablo 27944  df-vc 27958  df-nv 27991  df-va 27994  df-ba 27995  df-sm 27996  df-0v 27997  df-vs 27998  df-nmcv 27999  df-ims 28000  df-hnorm 28369  df-hvsub 28372  df-hlim 28373  df-sh 28608  df-ch 28622  df-ch0 28654  df-cv 29682  df-at 29741

This theorem is referenced by:  atnemeq0  29780