Theorem ccat2s1p2OLD 14429

Description: Obsolete version of ccat2s1p2 14427 as of 20-Jan-2024. Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ccat2s1p2OLD	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Proof of Theorem ccat2s1p2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cl 14398	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		s1cl 14398	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
4	3	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
5		1z 12443	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		2z 12445	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		1lt2 12237	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
8		fzolb 13486	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^2) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
9	5, 6, 7, 8	mpbir3an 1340	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^2)
10		s1len 14402	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
11		s1len 14402	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑌”⟩) = 1
12	10, 11	oveq12i 7341	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = (1 + 1)
13		1p1e2 12191	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
14	12, 13	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = 2
15	10, 14	oveq12i 7341	. . . . 5 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))) = (1..^2)
16	9, 15	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))))
18		ccatval2 14374	. . 3 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
19	2, 4, 17, 18	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
20	10	oveq2i 7340	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (1 − 1)
21		1m1e0 12138	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
22	20, 21	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0)
24	23	fveq2d 6823	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = (⟨“𝑌”⟩‘0))
25		s1fv 14406	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘0) = 𝑌)
26	24, 25	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = 𝑌)
27	26	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = 𝑌)
28	19, 27	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5089  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  0cc0 10964  1c1 10965   + caddc 10967   < clt 11102   − cmin 11298  2c2 12121  ℤcz 12412  ..^cfzo 13475  ♯chash 14137  Word cword 14309   ++ cconcat 14365  ⟨“cs1 14391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-hash 14138  df-word 14310  df-concat 14366  df-s1 14392

This theorem is referenced by: (None)