Theorem ccat2s1p2OLD 13988

Description: Obsolete version of ccat2s1p2 13986 as of 20-Jan-2024. Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ccat2s1p2OLD	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Proof of Theorem ccat2s1p2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cl 13956	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
2	1	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		s1cl 13956	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
4	3	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
5		1z 12013	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		2z 12015	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		1lt2 11809	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
8		fzolb 13045	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^2) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
9	5, 6, 7, 8	mpbir3an 1337	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^2)
10		s1len 13960	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
11		s1len 13960	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑌”⟩) = 1
12	10, 11	oveq12i 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = (1 + 1)
13		1p1e2 11763	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
14	12, 13	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = 2
15	10, 14	oveq12i 7168	. . . . 5 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))) = (1..^2)
16	9, 15	eleqtrri 2912	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))))
18		ccatval2 13932	. . 3 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
19	2, 4, 17, 18	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
20	10	oveq2i 7167	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (1 − 1)
21		1m1e0 11710	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
22	20, 21	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0)
24	23	fveq2d 6674	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = (⟨“𝑌”⟩‘0))
25		s1fv 13964	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘0) = 𝑌)
26	24, 25	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = 𝑌)
27	26	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = 𝑌)
28	19, 27	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   < clt 10675   − cmin 10870  2c2 11693  ℤcz 11982  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862   ++ cconcat 13922  ⟨“cs1 13949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950

This theorem is referenced by: (None)