Theorem ccat2s1p2OLD 14339

Description: Obsolete version of ccat2s1p2 14337 as of 20-Jan-2024. Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ccat2s1p2OLD	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Proof of Theorem ccat2s1p2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cl 14307	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		s1cl 14307	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
4	3	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
5		1z 12350	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		2z 12352	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		1lt2 12144	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
8		fzolb 13393	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^2) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
9	5, 6, 7, 8	mpbir3an 1340	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^2)
10		s1len 14311	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
11		s1len 14311	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑌”⟩) = 1
12	10, 11	oveq12i 7287	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = (1 + 1)
13		1p1e2 12098	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
14	12, 13	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = 2
15	10, 14	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))) = (1..^2)
16	9, 15	eleqtrri 2838	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))))
18		ccatval2 14283	. . 3 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
19	2, 4, 17, 18	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
20	10	oveq2i 7286	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (1 − 1)
21		1m1e0 12045	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
22	20, 21	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0)
24	23	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = (⟨“𝑌”⟩‘0))
25		s1fv 14315	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘0) = 𝑌)
26	24, 25	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = 𝑌)
27	26	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = 𝑌)
28	19, 27	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   − cmin 11205  2c2 12028  ℤcz 12319  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301

This theorem is referenced by: (None)