Theorem ccats1pfxeq 14752

Description: The last symbol of a word concatenated with the word with the last symbol removed results in the word itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1pfxeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Proof of Theorem ccats1pfxeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊))) → (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
3		lencl 14571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 12589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
5		pncan1 11687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℂ → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (♯‘𝑊))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (♯‘𝑊))
7	6	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
8	7	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
9		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → ((♯‘𝑈) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
10	9	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = ((♯‘𝑈) − 1))
11	10	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = ((♯‘𝑈) − 1))
12	8, 11	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) = ((♯‘𝑈) − 1))
13	12	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑈) − 1)))
14	13	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 prefix ((♯‘𝑈) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
15		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
16		nn0p1gt0 12555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
17	3, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
18	17	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
19		breq2 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
20	19	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
21	18, 20	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < (♯‘𝑈))
22		hashneq0 14403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
23	22	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
24	21, 23	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ≠ ∅)
25		pfxlswccat 14751	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ((𝑈 prefix ((♯‘𝑈) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
26	15, 24, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 prefix ((♯‘𝑈) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
27	14, 26	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊))) → ((𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
29	2, 28	eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊))) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
30	29	ex 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  ♯chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633   prefix cpfx 14708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709

This theorem is referenced by:  ccats1pfxeqrex  14753  ccats1pfxeqbi  14780