MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1pfxeq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ccats1pfxeq 14691
Description: The last symbol of a word concatenated with the word with the last symbol removed results in the word itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccats1pfxeq ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)))
Proof of Theorem ccats1pfxeq
StepHypRef Expression
1 oveq1 7420 . . . 4 (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = ((π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©))
21adantl 480 . . 3 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) ∧ π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = ((π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©))
3 lencl 14510 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
43nn0cnd 12559 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
5 pncan1 11663 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ β†’ (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘Š))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘Š))
76eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1))
873ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1))
9 oveq1 7420 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1))
109eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))
11103ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))
128, 11eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))
1312oveq2d 7429 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) = (π‘ˆ prefix ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)))
1413oveq1d 7428 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ ((π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = ((π‘ˆ prefix ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©))
15 simp2 1134 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ π‘ˆ ∈ Word 𝑉)
16 nn0p1gt0 12526 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
173, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
18173ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
19 breq2 5148 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
20193ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
2118, 20mpbird 256 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘ˆ))
22 hashneq0 14350 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Word 𝑉 β†’ (0 < (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ β‰  βˆ…))
23223ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ β‰  βˆ…))
2421, 23mpbid 231 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
25 pfxlswccat 14690 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ ((π‘ˆ prefix ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = π‘ˆ)
2615, 24, 25syl2anc 582 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ ((π‘ˆ prefix ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = π‘ˆ)
2714, 26eqtrd 2765 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ ((π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = π‘ˆ)
2827adantr 479 . . 3 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) ∧ π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = π‘ˆ)
292, 28eqtr2d 2766 . 2 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) ∧ π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©))
3029ex 411 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ…c0 4319   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„‚cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   < clt 11273   βˆ’ cmin 11469  β„•0cn0 12497  β™―chash 14316  Word cword 14491  lastSclsw 14539   ++ cconcat 14547  βŸ¨β€œcs1 14572   prefix cpfx 14647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-lsw 14540  df-concat 14548  df-s1 14573  df-substr 14618  df-pfx 14648
This theorem is referenced by:  ccats1pfxeqrex  14692  ccats1pfxeqbi  14719
  Copyright terms: Public domain W3C validator