MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1pfxeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1pfxeq 14609
Description: The last symbol of a word concatenated with the word with the last symbol removed results in the word itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccats1pfxeq ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)))

Proof of Theorem ccats1pfxeq
StepHypRef Expression
1 oveq1 7369 . . . 4 (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = ((π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©))
21adantl 483 . . 3 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) ∧ π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = ((π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©))
3 lencl 14428 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
43nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
5 pncan1 11586 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ β†’ (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘Š))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘Š))
76eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1))
873ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1))
9 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1))
109eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))
11103ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))
128, 11eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))
1312oveq2d 7378 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) = (π‘ˆ prefix ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)))
1413oveq1d 7377 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ ((π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = ((π‘ˆ prefix ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©))
15 simp2 1138 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ π‘ˆ ∈ Word 𝑉)
16 nn0p1gt0 12449 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
173, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
18173ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
19 breq2 5114 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
20193ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
2118, 20mpbird 257 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘ˆ))
22 hashneq0 14271 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Word 𝑉 β†’ (0 < (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ β‰  βˆ…))
23223ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ β‰  βˆ…))
2421, 23mpbid 231 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
25 pfxlswccat 14608 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ ((π‘ˆ prefix ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = π‘ˆ)
2615, 24, 25syl2anc 585 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ ((π‘ˆ prefix ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = π‘ˆ)
2714, 26eqtrd 2777 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ ((π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = π‘ˆ)
2827adantr 482 . . 3 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) ∧ π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) = π‘ˆ)
292, 28eqtr2d 2778 . 2 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) ∧ π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©))
3029ex 414 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„•0cn0 12420  β™―chash 14237  Word cword 14409  lastSclsw 14457   ++ cconcat 14465  βŸ¨β€œcs1 14490   prefix cpfx 14565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566
This theorem is referenced by:  ccats1pfxeqrex  14610  ccats1pfxeqbi  14637
  Copyright terms: Public domain W3C validator